浙教版备考2021年中考数学一轮复习专题21——直角三角形

试卷更新日期：2021-02-08 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A、∠A-∠B=∠C B、∠A：∠B：∠C=3：4：7 C、∠A=2∠B=3∠C D、∠A=9°，∠B=81°

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2. 下列各组数是勾股数的一组是（）

A、7，24，25 B、 $3^{2}, 4^{2} ， 5^{2}$ C、1.5，2，2.5 D、 $\sqrt{3} ， \sqrt{4} ， \sqrt{7}$

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3. 如图，∠B＝∠ACD＝90°；AD=13；CD=12；BC=3，则AB的长为（）

A、4 B、5 C、8 D、10

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4. 直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（）

A、13 B、 $\sqrt{2}$ C、13或 $\sqrt{2}$ D、13或12

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5. 如图所示，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，那么点C的个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 在 $△ A B C$ 中，若 $A B = 13$ ， $B C = 5$ ， $A C = 12$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ A = 90 °$ B、 $∠ B = 90 °$ C、 $∠ C = 90 °$ D、 $△ A B C$ 不是直角三角形

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7. 如图，是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC ， AB＝12m ， ∠A＝30°，则立柱BC的长度为（）

A、4m B、6m C、8m D、12m

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8. 如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在 $R t Δ A B C$ 中， $A C = b$ ， $B C = a$ ， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，若图中大正方形的面积为48，小正方形的面积为6，则 ${(a + b)}^{2}$ 的值为（）

A、60 B、79 C、84 D、90

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9. 将一根 $24 c m$ 的筷子，置于底面直径为 $15 c m$ ，高 $8 c m$ 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度 $h c m$ ，则 $h$ 的取值范围是（）

A、 $h \leq 17 c m$ B、 $h \geq 8 c m$ C、 $15 c m < h \leq 16 c m$ D、 $7 c m \leq h \leq 16 c m$

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10. 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 8$ .点D，E，F，G，H，I都在矩形 $K L M J$ 的边上，则矩形 $K L M J$ 的面积为（）．

A、288 B、400 C、432 D、440

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二、填空题

11. 在 $Rt △ A B C$ 中，斜边 $A B = \sqrt{3}$ ，则 $A B^{2} + B C^{2} + A C^{2}$ 的值是.

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12. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=6cm，则CD的长为cm.

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13. 已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，则△ABC的周长为．

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14. 在Rt△ABC中∠C=90°，∠A=30°，BC+AB=12cm ，则AB= cm ．

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15. 如图，已知△ABD，△BCE均为等腰直角三角形，若CD=8，BE=3，则AC等于 .

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16. 我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则葛藤的最短长度是尺．

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17. 已知 $△ A B C$ 是腰长为 $1$ 的等腰直角三角形，以 $R t △ A B C$ 的斜边 $A C$ 为直角边，画第二个等腰 $R t △ A C D ，$ 再以 $R t △ A C D$ 的斜边 $A D$ 为直角边，画第三个等腰 $R t △ A D E$ ，…，依此类推，第 $n$ 个等腰直角三角形的斜边长是.

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三、综合题

18. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高.

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19. 如图是一块四边形木板，其中 $A B = 16 cm$ ， $B C = 24 cm$ ， $C D = 9 cm$ ， $A D = 25 cm$ ， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ．李师傅找到 $B C$ 边的中点 $P$ ，连接 $A P$ ， $D P$ ，发现 $△ A P D$ 是直角三角形．请你通过计算说明理由．

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20. 如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东 $45^{°}$ 方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东 $60^{°}$ 方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km．参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{6} \approx 2.449$ ）

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21. 图是一个长、宽、高分别为4cm ， 3cm ， 5cm的长方体，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬行至点B ，爬行的最短路程是多少？

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22. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 $1$ ，每个小格的顶点叫做格点.

(1)、在图1中以格点 $A$ 为端点画出 $A B = \sqrt{2} ， A C = \sqrt{5} ， A D = \sqrt{10}$ 的线段；

(2)、在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为 $2 ， \sqrt{2} ， \sqrt{10}$ ；

(3)、如图3，点 $P ， M ， N$ 是小正方形的顶点，直接写出 $∠ P N M$ 的度数.

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23. 如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m．

(1)、求这个梯子的底端距墙的垂直距离有多远；

(2)、当BD=8m，且AB=CD时，AC的长是多少米；

(3)、如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2米，那么梯子的顶端向上滑动的距离是多少米？

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24. 如图

（背景阅读）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

（实践操作）

(1)、请叙述勾股定理；

(2)、验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件）

(3)、（探索发现）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ 的有个；

(4)、如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，直角三角形面积为 $S_{3}$ ，请判断 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 的关系并说明理由．

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