2021年高中数学试卷高三一轮复习：三角函数章节检测

试卷更新日期：2021-02-06 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 若 $\cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{4}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $- \frac{1}{8}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $- \frac{3}{8}$

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2. 已知角 $α$ 的终边经过点P( $\sin 47^{0}, \cos 47^{0}$ )，则sin( $α - 13^{0}$ )=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》一章给出计算弧田面积所用的公式为：弧田面积= $\frac{1}{2}$ （弦×矢+矢×矢）.其中弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指的是圆弧所对弦长，矢等于半径长与圆心到弦的距离之差.如图，现有圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的弧田，其弦与半径构成的三角形面积为 $4 \sqrt{3}$ ，按照上述公式计算，所得弧田面积是（）

A、 $4 \sqrt{3} + 2$ B、 $4 \sqrt{3} + 3$ C、 $2 \sqrt{3} + 4$ D、 $2 \sqrt{2} + 4$

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4. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin ω x$ 和 $g (x) = \sqrt{2} \cos ω x$ （ $ω > 0$ ）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到 $y = g (x)$ 的图象，只需把 $y = f (x)$ 的图象（）

A、向左平移1个单位 B、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位 C、向右平移1个单位 D、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位

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5. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0 ， | φ | < \frac{π}{2}$ ）的图象如图所示，为了得到 $g (x) = A \sin ω x$ 的图象，只需将 $f (x)$ 图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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6. 若函数 $f (x) = sin \frac{ω x}{2} sin （ \frac{ω x}{2} + \frac{π}{2}) (ω > 0)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ 内有且仅有一个最大值，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 5)$ B、 $[1 ， 5)$ C、（0， $\frac{9}{2}$ ） D、 $[1 ， \frac{9}{2})$

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7. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $Δ A B C$ 为锐角三角形，且满足 $sin B (1 + 2 cos C) = 2 sin A cos C + cos A sin C$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $a = 2 b$ B、 $b = 2 a$ C、 $A = 2 B$ D、 $B = 2 A$

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8. 若对任意实数 $x \in [a, b]$ ，均有 $sin x cos x - m (sin x + cos x) + m^{2} \leq 0$ 恒成立，则下列结论中正确的是（）

A、当 $m = 1$ 时， $b - a$ 的最大值为 $\frac{π}{2}$ B、当 $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时， $b - a$ 的最大值为 $π$ C、当 $m = \frac{1}{2}$ 时， $b - a$ 的最大值为 $π$ D、当 $m = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时， $b - a$ 的最大值为 $\frac{π}{2}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (0 < ω \leq 3)$ 的图象的一条对称轴为直线 $x = \frac{π}{8}$ ， $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，函数 $g (x) = f (x) + f^{'} (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $x = \frac{π}{8}$ 是函数 $g (x)$ 图象的一条对称轴 B、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $(\frac{π}{8} ， 0)$ 是函数 $g (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $g (x)$ 的最大值为 $\sqrt{5}$

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10. 设函数g(x)=sinωx(ω＞0)向左平移 $\frac{π}{5 ω}$ 个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）

A、f(x)的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 B、f(x)在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f(x)在(0，2π)上有且只有2个极小值点 C、f(x)在 $(0 ， \frac{π}{10})$ 上单调递增 D、ω的取值范围是[ $\frac{12}{5} ， \frac{29}{10}$ )

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11. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{2} x$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $- 2 \leq f (x) \leq 2$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上只有1个零点 C、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ D、 $x = \frac{π}{3}$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴

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12. 将曲线 $y = s i n^{2} x - \sqrt{3} s i n (π - x) s i n (x + \frac{3 π}{2})$ 上每个点的横坐标伸长为原来的 $2$ 倍(纵坐标不变)，得到 $g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{3 π}{2}$ 对称 B、 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的值域为 $[0 ， \frac{3}{2}]$ C、 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 D、 $g (x)$ 的图象可由 $y = c o s x + \frac{1}{2}$ 的图象向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度得到

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三、填空题

13. 若 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{\sin α + 2 \cos α}{\sin α - \cos α} =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中，给出下列 $5$ 个命题：①若 $A < B$ ，则 $s i n A < s i n B$ ；②若 $s i n A < s i n B$ ，则 $A < B$ ；③若 $A > B$ ，则 $\frac{1}{\tan 2 A} > \frac{1}{\tan 2 B}$ ；④若 $A < B$ ，则 $c o s^{2} A > c o s^{2} B$ ；⑤若 $A < B$ ，则 $\tan \frac{A}{2} < \tan \frac{B}{2}$ 其中正确命题的序号是．

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15. 设当 $x = θ$ 时，函数 $f (x) = cos x - 2 sin x$ 取得最大值，则 $\cos θ =$ .

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16. 若点 $C$ 在以 $P$ 为圆心， $6$ 为半径的弧 $\vec{A B}$ （包括 $A$ 、 $B$ 两点）上， $∠ A P B = 120 °$ ，且 $\overset{⇀}{P C} = x \overset{⇀}{P A} + y \overset{⇀}{P B}$ ，则 $2 x + 3 y$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知 $cos (π + α) = \frac{3}{5}$ ， $α \in (- π ， 0)$ .

(1)、求 $sin α$ ；

(2)、求 $sin (π - 2 α) + 2 {cos}^{2} (\frac{π}{4} + \frac{α}{2})$ 的值.

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18. 在①函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6}, b)$ 对称；
②函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最小值为 $\frac{1}{2}$ ；

③函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称.

这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，再解答这个问题.

已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) + b (| φ | < \frac{π}{2})$ ，若满足条件 ▲ 与 ▲ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若将函数 $y = f (x)$ 的图象上点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再将所得图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的单调递减区间.

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19. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $A$ ， $ω$ ， $φ$ 的值；

(2)、先将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ 在 $[0 ， m]$ 上单调递增，求 $m$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} + {cos}^{2} \frac{x}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的周期和及其图象的对称中心；

(2)、在锐角△ $A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别是 $a 、 b 、 c$ 满足 $(2 a - c) cos B = b cos C$ ，求函数 $f (A)$ 的取值范围．

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21. 已知向量 $\vec{a} = (sin x ， 2 \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (2 ， cos x)$ .
（Ⅰ）若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $tan 2 x$ 的值；

（Ⅱ）令 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，把函数 $f (x)$ 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿 $x$ 轴向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，试求函数 $y = g (x)$ 的单调增区间及图象的对称中心.

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22. 给出以下四个式子：
① ${sin}^{2} 8^{0} + {cos}^{2} 22^{0} - sin 8^{0} cos 22^{0}$ ；② ${sin}^{2} 15^{0} + {cos}^{2} 15^{0} - sin 15^{0} cos 15^{0}$ ；
③ ${sin}^{2} 16^{0} + {cos}^{2} 14^{0} - sin 16^{0} cos 14^{0}$ ；④ ${sin}^{2} {(- 5)}^{0} + {cos}^{2} 35^{0} - sin {(- 5)}^{0} cos 35^{0}$ ；

(1)、已知所给各式都等于同一个常数，试从上述四个式子中任选一个，求出这个常数；

(2)、分析以上各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式正确性作出证明。

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