辽宁省本溪市2019-2020学年高二下学期数学验收试卷

试卷更新日期：2021-02-02 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} = 1}$ ， $N = {x | a x = 1}$ ，若 $N \subseteq M$ ，则实数 $a$ 的取值集合为（）

A、{1} B、 ${- 1 ， 1}$ C、 ${1 ， 0}$ D、 ${1 ， - 1 ， 0}$

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2. 设命题 $p$ ：所有矩形都是平行四边形，则 $\neg p$ 为（）

A、所有矩形都不是平行四边形 B、有的平行四边形不是矩形 C、有的矩形不是平行四边形 D、不是矩形的四边形不是平行四边形

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3. 设 $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，有下列命题：
①如果 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，那么 $α ⊥ β$ ； ②如果 $m ⊥ α$ ， $n / / α$ ，那么 $m ⊥ n$ ；③如果 $α / / β$ ， $m \subset α$ ，那么 $m / / β$ ；④如果平面 $α$ 内有不共线的三点到平面 $β$ 的距离相等，那么 $α / / β$ ；其中正确的命题是（）

A、①② B、②③ C、②④ D、②③④

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4. 若直线 $a x - 2 y + a + 2 = 0$ 与 $3 x + (a - 5) y + 5 = 0$ 平行，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、1或3 C、3 D、2或3

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5. 已知实数 $x > 0$ ， $y > 0$ ，则“ $x y \leq 1$ ”是“ $2^{x} + 2^{y} \leq 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 两个公比均不为 $1$ 的等比数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ ，其前n项的乘积分别为 $A_{n} ， B_{n}$ ，若 $\frac{a_{5}}{b_{5}} = 2$ ，则 $\frac{A_{9}}{B_{9}} =$ （）

A、512 B、32 C、8 D、2

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7. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{1 + x}{1 - x} + \sin x$ ，则关于 $a$ 的不等式 $f (a - 2) + f (a^{2} - 4) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- 3 ， 2)$ B、 $(\sqrt{3}$ ， $2)$ C、 $(2 ， \sqrt{5})$ D、 $(\sqrt{3} ， \sqrt{5})$

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8. 唐朝著名的凤鸟花卉浮雕银杯（如图1所示），它的盛酒部分可以近似地看做是半球与圆柱的组合体（如图2），当这种酒杯内壁表面积固定时（假设内壁表面光滑，表面积为 $S$ 平方厘米，半球的半径为 $R$ 厘米），要使酒杯容积不大于半球体积的两倍，则 $R$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \sqrt{\frac{3 S}{10 π}}]$ B、 $[\sqrt{\frac{3 S}{10 π}} ， + \infty)$ C、 $(\sqrt{\frac{S}{5 π}} ， \sqrt{\frac{3 S}{10 π}}]$ D、 $[\sqrt{\frac{3 S}{10 π}} ， \sqrt{\frac{S}{2 π}})$

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9. 过坐标原点 $O$ 作圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 的两条切线，切点为 $A ， B$ ，直线 $A B$ 被圆截得弦 $| A B |$ 的长度为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{6}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{3 \sqrt{6}}{5}$

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10. 已知 $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上任意一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的两个焦点，则 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} |$ 的最小值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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11. 已知点 $A (0 ， 2)$ ，抛物线 $C_{1} ：$ $y^{2} = a x$ $(a > 0)$ 的焦点为 $F$ ，射线 $F A$ 与抛物线 $C$ 相交于点 $M$ ，与其准线相交于点 $N$ .若 $| F M | ： | M N | = 1 ： \sqrt{5}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、4 D、4

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12. 设双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一个焦点为 $F$ ，过 $F$ 作双曲线 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $A$ ，且与另一条渐近线交于点 $B$ ，若 $3 \vec{O F} = \vec{O B} + 2 \vec{O A}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为 $($ $)$

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{3}$

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二、填空题

13. 已知一个双曲线的方程为： $\frac{x^{2}}{m - 3} - \frac{y^{2}}{m + 2} = 1$ ，则 $m$ 的取值范围是.

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14. 角 $α$ 是 $Δ A B C$ 的一个内角，且 $\sin α + \cos α = - \frac{1}{5}$ ，则 $\tan α =$ .

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15. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 对于任意的 $x \in R$ 有 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，且当 $x \in [2$ ， $3]$ 时， $f (x) = - x^{2} + 6 x - 9$ ，若函数 $y = f (x) - \log_{a} x$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上只有六个零点，则实数 $a =$ .

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16. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $O$ 为线段 $B D$ 的中点，设点 $P$ 在线段 $C C_{1}$ 上，直线 $O P$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成的角为 $α$ ，则 $\sin α$ 的最小值，最大值.

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三、解答题

17. 已知正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $O$ 是底 $A B C D$ 对角线的交点.求证：

(1)、 $C_{1} O / /$ 面 ${AB}_{1} D_{1}$ ；

(2)、 $A_{1} C ⊥$ 面 ${AB}_{1} D_{1}$ ．

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18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c(sinC-sinA)=(sinA+sinB) (b - a).

(1)、求B；

(2)、若c=8，点M，N是线段BC的两个三等分点， $B M = \frac{1}{3} B C, \frac{A N}{B M} = 2 \sqrt{3}$ ，求AM的值．

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19. $S_{n}$ 为数列{ $a_{n}$ }的前 $n$ 项和.已知 $a_{n}$ ＞0， $a_{n}^{2} + 2 a_{n}$ = $4 S_{n} + 3$ .
（Ⅰ）求{ $a_{n}$ }的通项公式；

（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ,求数列{ $b_{n}$ }的前 $n$ 项和.

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20. 已知直线 $y = 2 x + m (m \neq 0)$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 交于 $A 、 B$ 两点，

(1)、若 $O A ⊥ O B$ ，求 $m$ 的值；

(2)、以 $A B$ 为边作矩形 $A B C D$ ，若矩形 $A B C D$ 的外接圆圆心为 $(\frac{1}{2}, 2)$ ，求矩形 $A B C D$ 的面积.

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21. 如图， $△ B C D$ 与 $△ M C D$ 都是边长为2的正三角形，平面 $M C D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求直线 $A M$ 与平面 $B C D$ 所成角的大小；

(2)、求三棱锥 $A - B M D$ 的体积；

(3)、求平面 $A C M$ 与平面 $B C D$ 所成二面角的正弦值.

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22. 已知A、B分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点，P为椭圆C的下顶点，F为其右焦点 $.$ 点M是椭圆C上异于A、B的任一动点，过点A作直线 $l ⊥ x$ 轴 $.$ 以线段AF为直径的圆交直线AM于点A、N，连接FN交直线l于点 $H .$ 点G的坐标为 $(- b ， 0)$ ，且 $| PF | \cdot | PG | = 2 \sqrt{6}$ ，椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、试问在x轴上是否存在一个定点T，使得直线MH必过该定点T？若存在，求出点T的坐标，若不存在，说明理由．

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