湖北省部分重点中学2019-2020学年高一下学期数学摸底考试试卷

试卷更新日期：2021-02-02 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {x | x^{2} + 5 x - 6 > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 $\emptyset$ D、 ${2}$

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2. 下列函数既是偶函数又在 $(- \infty, 0)$ 上递增的是（）

A、 $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ B、 $y = \log_{3} x^{2}$ C、 $y = - 2^{| x |}$ D、 $y = x^{2}$

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3. 已知角 $α$ 的终边经过点P(4，－3)，则 $2 sin α + cos α$ 的值等于（）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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4. 已知实数a､b均不为零，且 $a > b$ .若 $c \in R$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a - c < b - c$ C、 $| a | > b$ D、 $a c^{2} > b c^{2}$

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5. 已知平面 $α / /$ 平面 $β$ ，直线 $m$ $\subset$ $α$ ，直线 $n$ $\subset$ $β$ ，下列结论中不正确的是（）

A、 $m / / β$ B、 $n / / α$ C、 $m / / n$ D、 $m$ 与 $n$ 不相交

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6. 下列说法中正确的是（）

A、以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台 B、若正方体的棱长扩大到原来的2倍，则其体积扩大到原来的 $6$ 倍 C、有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 D、用一个平面去截圆锥，若该平面过圆锥的轴，则所得的截面是一个等腰三角形

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7. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，若其图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后关于y轴对称，则（）

A、 $ω = 2 ， φ = \frac{π}{3}$ B、 $ω = 2 ， φ = \frac{π}{6}$ C、 $ω = 4 ， φ = \frac{π}{6}$ D、 $ω = 2 ， φ = - \frac{π}{6}$

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8. 在平行四边形ABCD中，M是对角线AC上一点，且 $A M = 3 M C$ ，则 $\vec{D M} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{C B} + \frac{1}{3} \vec{C D}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{C B} - \frac{1}{3} \vec{C D}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{C B} + \frac{3}{4} \vec{C D}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{C B} - \frac{3}{4} \vec{C D}$

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9. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 4$ ， $A C ⊥ B C$ ， $C C_{1} = 5$ ， $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线 $B E$ 与 $C D$ 所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{58}}{29}$ D、 $\frac{3 \sqrt{87}}{29}$

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10. 已知三棱锥 $S - A B C$ 的四个顶点都在球O的表面上，且 $S A ⊥ A C$ ， $S A ⊥ A B$ ，若已知 $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $S A = 6$ ，则球O的体积是（）

A、 $\frac{100 π}{3}$ B、 $\frac{200 π}{3}$ C、 $\frac{52 \sqrt{13} π}{3}$ D、 $\frac{52 π}{3}$

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11. 形如 $2^{2^{n}} + 1$ ( $n$ 是非负整数)的数称为费马数，记为 $F_{n}$ 数学家费马根据 $F_{0}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $F_{3}$ ， $F_{4}$ 都是质数提出了猜想：费马数都是质数.1732年，欧拉算出 $F_{5} = 641 \times 6700417$ ，也就是说 $F_{5}$ 不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式.后来，人们又陆续找到了不少反例.如 $F_{6} = 274177 \times 67280421310721$ 不是质数那么 $F_{6}$ 的位数为（）
(参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ )

A、21 B、20 C、19 D、18

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12. 已知函数 $f (x) = m x - 2 m$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 (m + 1) x + 1 - m, x \leq 0 \\ \ln x, x > 0 \end{array}$ ，若这两个函数图象有且只有三个不同的交点，则实数m的取值范围是（）

A、 $[- 2, - 1]$ B、 $(- 2, - 1]$ C、 $[- 1, 0)$ D、 $[- 1, 0]$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = (x^{2} - 2019 x - 2020) \ln (x - 1)$ 的零点个数为.

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14. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (x, y - 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，若 $x$ ， $y$ 均为正数，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是.

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15. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $| \vec{C A} + \vec{C B} | = | \vec{C A} - \vec{C B} |$ ， $\cos 2 A + 2 \sin^{2} \frac{B + C}{2} = 1$ ，则 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 方向上的投影为.

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点P在线段 $C B_{1}$ 上，若平面 $α$ 经过点 $A 、 C_{1} 、 P$ ，则它截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面的周长最小值为.

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三、解答题

17. 已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $45^{\circ}$ .

(1)、求 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ 的值；

(2)、若向量 $2 \vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - 3 \vec{b}$ 平行，求实数 $λ$ 的值.

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18. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) - \cos 2 x$ ，求函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\cos A = \frac{3}{4}$ ， $B = 2 A$ ， $b = 3$ .

(1)、求 $\sin B$ 和 $a$ 的值；

(2)、已知点M为BC的中点，求AM的长度.

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为 $2 \sqrt{17}$ ，点G.E.F.H分别是棱PB．AB．DC．PC上共面的四点， $B C / /$ 平面GEFH.

(1)、证明： $G H / / E F$ ；

(2)、若 $E B = 2$ ，平面 $P D A / /$ 平面GEFH，求四边形GEFH的面积.

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21. 新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病.面对前所未知､突如其来､来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥､亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位，明确坚决打赢疫情防控的人民战争､总体战､阻击战.随着疫情防控形势好转，中央出台了一系列助力复工复产好政策.城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利.根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔 $t$ (单位：分钟)满足： $4 \leq t \leq 15$ ， $t \in N$ ，平均每趟快递车辆的载件个数 $p (t)$ (单位：个)与发车时间间隔 $t$ 近似地满足 $p (t) = {\begin{array}{l} 1800 - 15 {(9 - t)}^{2}, 4 \leq t < 9 \\ 1800, 9 \leq t \leq 15 \end{array}$ ，其中 $t \in N$ .

(1)、若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔 $t$ 的值；

(2)、若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为 $q (t) = \frac{6 p (t) - 7920}{t} - 80$ (单位：元)，问当发车时间间隔 $t$ 为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.

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22. 已知 $f (x)$ ､ $g (x)$ 分别是定义在 $R$ 上的奇函数和偶函数，满足 $f (x) + g (x) = a^{x}$ ， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $f (1) - g (1) = - \frac{1}{2}$ .

(1)、求实数 $a$ 的值及 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的表达式；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $| f (x) | \cdot [g (2 x) + λ] = 3$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内恰有两个不等实数根，求常数 $λ$ 的取值范围.

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