云南省玉溪市普通高中2021届高三上学期理数第一次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-02-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq - 1}, B = {x | x^{2} - x < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $[- 1, 1)$ C、 $(0, 1)$ D、 $[0, 1)$

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2. 设 $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ ，则在复平面内z对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $\cos (\frac{3}{2} π + α) = \frac{1}{5}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{23}{25}$ B、 $- \frac{23}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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4. 在一个文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．根据两个评判小组对同一名选手的打分绘制了下面的折线图．

根据以上折线图，下列结论错误的是（）

A、A小组打分分值的最高分为55分，最低分为42分 B、A小组打分分值的标准差小于B小组打分分值的标准差 C、B小组打分分值的中位数为56.5 D、B小组更像是由专业人士组成的

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5. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为120°， $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} | = 2$ ，则 $| 2 \vec{a} + 3 \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{37}$ C、7 D、13

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6. 数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = \sqrt{2}, a_{n + 1} = a_{1} a_{n}$ ，则 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10} =$ （）

A、61 B、62 C、63 D、64

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7. 曲线 $y = (a x + 3) e^{2 x}$ 在点 $(0 ， 3)$ 处的切线的斜率为 $- 4$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、-3 C、-7 D、-10

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8. 设 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，双曲线C上存在点P，使得 $| \vec{P F_{1}} | + | {\vec{P F}}_{2} | = 5 b$ ， $| \vec{P F_{1}} | \cdot | {\vec{P F}}_{2} | = \frac{9}{8} a b$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若 $f (\frac{5 π}{24}) = f (\frac{13 π}{24})$ ，则函数的单调递增区间为（）

A、 $[k π - \frac{π}{8} ， k π + \frac{3 π}{8}] (k \in Z)$ B、 $[2 k π - \frac{π}{8} ， 2 k π + \frac{3 π}{8}] (k \in Z)$ C、 $[k π + \frac{3 π}{8} ， k π + \frac{7 π}{8}] (k \in Z)$ D、 $[2 k π + \frac{3 π}{8} ， 2 k π + \frac{7 π}{8}] (k \in Z)$

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10. 已知直线l： $y = k x + 1$ 与圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交于M，N两点，且 $△ M O N$ 的面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则 $k =$ （）

A、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\pm \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\sqrt{3}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\pm \sqrt{3}$

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，E，F，G分别为棱 $A A_{1}$ ， $A B$ ， $C C_{1}$ 上的点，其中 $A E = 1$ ， $A F = 2$ ， $C G = \frac{3}{2}$ ，平面 $α$ 经过点E，F，G，则 $α$ 截此正方体所得的截面为（）

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

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12. 已知 $a = \frac{1}{101} ， b = e^{- \frac{99}{100}} ， c = \ln \frac{101}{100}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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二、填空题

13. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x - y - 1 \geq 0 \\ x + 3 y - 1 \geq 0 \\ x \leq 3 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最小值是．

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14. 公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派已经知道五种正多面体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．后来，柏拉图学派的泰阿泰德（Theaetetus）证明出正多面体总共只有上述五种．如图就是五种正多面体的图形．现有5张分别画有上述五种多面体的不同卡片（除画有的图形不同外没有差别），若从这 $5$ 张不同的卡片中任取2张，则没有取到画有“正四面体”卡片的概率为．

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15. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．

此表由若干个数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和．若每行的第一个数构成有穷数列 ${a_{n}}$ ，并且得到递推关系为 $a_{n} = 2 a_{n - 1} + 2^{n - 2} ， a_{1} = 1$ ．则 $a_{n} =$ ．

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C = 2$ ， $△ A B C$ 是正三角形， $E$ 为 $P C$ 中点，有以下四个结论：
①若 $P C ⊥ B E$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ；

②若 $P C ⊥ B E$ ，且三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为 $\sqrt{6} π$ ；

③若 $P A ⊥ B E$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ；

④若 $P A ⊥ B E$ ，且三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 $12 π$ ．

其中结论正确的序号为．

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三、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 A C$ ， $∠ B A C$ 的角平分线交 $B C$ 于点 $D$ ．

(1)、求 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A D C}}$ 的值；

(2)、若 $A C = 1 ， B D = \sqrt{2}$ ，求 $A D$ 的长．

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18. 物理学中常用“伏安法”测量电阻值（单位：欧姆），现用仪器测量某一定值电阻在不同电压下的电流值测得一组数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 10)$ ，其中， $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示第i次测量数据的电流（单位：安培）和电压（单位：伏特），计算得 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 2.4, \sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 12, \sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 3.196, \sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 0.6432$ ．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、用最小二乘法求出回归直线方程（ $\hat{b}$ 与 $\hat{a}$ 精确到0.01）；

(2)、由“伏安法”可知，直线的斜率是电阻的估计值，请用计算得到的数据说明电阻的估计值．

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19. 如图所示，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ，E，F分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点．

(1)、求证： $B_{1} C_{1} //$ 平面 $A_{1} E F$ ；

(2)、若点G是线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点，求二面角 $A_{1} - E F - G$ 的正弦值．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、记椭圆C与x轴交于A，B两点，M是直线 $x = 1$ 上任意一点，直线 $M A$ ， $M B$ 与椭圆C的另一个交点分别为D，E．求证：直线 $D E$ 过定点 $H (4, 0)$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - m x ， g (x) = - x^{2} - m$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，若 $h (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上有且只有一个零点，求m的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $\frac{\sqrt{3}}{3} ρ \cos θ + ρ \sin θ + 2 = 0$ ，半圆C的极坐标方程为 $ρ = 1 (θ \in [0 ， π])$ ．

(1)、求直线l的直角坐标方程及C的参数方程；

(2)、若直线 $l^{'}$ 平行于l，且与C相切于点D，求点D的直角坐标．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | + | x + b | (a > 0, b > 0)$ ．

(1)、若 $a = b = 1$ ，解不等式 $f (x) > 2$ ；

(2)、若 $f (x)$ 的值域是 $[2, + \infty)$ ，且 $\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{b + 1} \geq k$ ，求k的最大值．

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