四川省凉山州2020-2021学年高三理数第一次诊断性检测试卷

试卷更新日期：2021-02-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知结合 $A = {x | 0 \leq x - 1 < 3}$ ， $B = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 ${1, 2, 3}$ C、 ${1, 2, 3, 4}$ D、 ${1, 2, 3, 4, 5}$

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2. 复数 $\frac{1 + i}{1 - i}$ 的实部和虚部分别为 $a$ ， $b$ ，则 $| a | + | b | =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 方程 $3^{\log_{2} x} = \frac{1}{9}$ 的解集为（）

A、 ${\frac{1}{4}}$ B、{4} C、 ${\frac{1}{3}}$ D、 ${\frac{1}{9}}$

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4. $△ A B C$ 中， $\sin (A + \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $\tan \frac{A}{2} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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5. $S_{n}$ 为正项等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{3} + a_{5} + a_{7} = t S_{9}$ ，则 $t =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、 $\frac{2}{3}$

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6. 电路制造在半导体芯片表面上的集成电路称为薄膜(thin-film)集成电路，集成电路对于离散晶体管有成本和性能两个主要优势.从存放有编号分别为1，2，3，…，8的芯片的盒子中，有放回地取1000次，每次取一张芯片并记下编号.统计结果如下：

芯片编号	1	2	3	4	5	6	7	8
取到的次数	127	141	$x$	110	118	150	123	109

则取到号码为奇数的频率为（）

A、0.5 B、0.49 C、0.51 D、0.48

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7. 直线 $y = x + 2$ 和双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的渐近线相交于 $A$ ， $B$ 两点，则线段 $A B$ 的长度为（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 抛物线 $C$ ： $y = a x^{2}$ 在点 $(1 ， a)$ 处的切线方程为 $2 x - y - 1 = 0$ ，则 $C$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 0)$ D、 $(\frac{1}{4} ， 0)$

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9. 已知 $△ A B C$ 为等边三角形， $A B = 2$ ，设点 $D$ ， $E$ 满足 $\vec{B D} = \vec{D C}$ ， $\vec{B E} = \frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， $A D$ 与 $B E$ 交于点 $P$ ，则 $\vec{B P} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、1 D、2

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10. 日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为 $12 cm$ ，矩形的宽和正方形的边长均为 $8 cm$ .若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为 $V$ ${cm}^{3}$ ，则 $V$ 的最大值为（）

A、 $\frac{64 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{32 \sqrt{2}}{3} π$ C、32π D、 $\frac{256}{3} π$

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11. 设椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ( $a > 2$ )的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ ： $y = x + t$ 交椭圆 $C$ 于点 $A$ ， $B$ ，若 $△ F_{1} A B$ 的周长的最大值为12，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{5}{9}$

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12. $a$ 克糖水中含有 $b$ 克糖，糖的质量与糖水的质量比为 $\frac{b}{a}$ ，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加 $m$ 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ ( $a > b > 0$ ， $m > 0$ ).若 $x_{1} = \log_{3} 2$ ， $x_{2} = \log_{15} 10$ ， $x_{3} = \log_{45} 20$ ，则（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ C、 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$ D、 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$

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二、填空题

13. ${(3 x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项是.(用数字作答)

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14. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = 0$ .当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - x$ ，则不等式 $f (x) \leq x$ 的解集用区间表示为.

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15. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{n + 2} = 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $S_{15} =$ .

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16. 在空间中，过 $A$ 点作平面 $γ$ 的垂线，垂足为 $B$ ，记作： $B = f_{γ} (A)$ .关于两个不同的平面 $α$ ， $β$ 有如下四个命题：
①若 $α // β$ ，则存在点 $P$ 满足 $f_{α} (P) = f_{β} (P)$ .

②若 $α ⊥ β$ ，则存在点 $P$ 满足 $f_{α} (P) = f_{β} (P)$ .

③若 $α // β$ ，则不存在点 $P$ 满足 $f_{α} (f_{β} (P)) = f_{β} (f_{α} (P))$ .

④若对空间任意一点 $P$ ，恒有 $f_{α} (f_{β} (P)) = f_{β} (f_{α} (P))$ ，则 $α ⊥ β$ .

其中所有真命题的序号是.

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三、解答题

17. 2020年1月24日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种.6月19日，中国首个新冠mRNA疫苗获批启动临床试验，截至2020年10月20日，中国共计接种了约6万名受试者，为了研究年龄与疫苗的不良反应的统计关系，现从受试者中采取分层抽样抽取100名，其中大龄受试者有30人，舒张压偏高或偏低的有10人，年轻受试者有70人，舒张压正常的有60人.

运算公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

对照表：

$P$ ( $K^{2} \geq k$ )	0.100	0.050	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	10.828

(1)、根据已知条件完成下面的

2 \times 2

列联表，并据此资料你是否能够以99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关？

	大龄受试者	年轻受试者	合计
舒张压偏高或偏低
舒张压正常
合计

(2)、在上述100人中，从舒张压偏高或偏低的所有受试者中采用分层抽样抽取6人，从抽出的6人中任取3人，设取出的大龄受试者人数为

X

，求

X

的分布列和数学期望.

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18. 已知函数 $f (x) = λ \sin (ω x + φ)$ ( $λ > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ )的部分图象如图所示， $A$ 为图象与 $x$ 轴的交点， $B$ ， $C$ 分别为图象的最高点和最低点， $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ，点 $B$ 的坐标为 $(\frac{1}{3} ， λ)$ ，求 $f (x)$ 的最小正周期及 $φ$ 的值.

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D // B C$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D = 2$ ，且 $P A = a$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $P C$ ， $P B$ 的中点.

(1)、若 $a = 2$ ，求证： $P B ⊥$ 平面 $A D E F$ ；

(2)、若四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为2，求二面角 $A - P D - C$ 的余弦值.

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20. 椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的左焦点为 $(- \sqrt{2}, 0)$ ，且椭圆 $C$ 经过点 $P (0, 1)$ ，直线 $y = k x + 2 k - 1$ ( $k \neq 0$ )与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点（异于点 $P$ ）.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、证明：直线 $P A$ 与直线 $P B$ 的斜率之和为定值，并求出这个定值.

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21. 设函数 $f (x) = x^{2} + (a - 2) x - a \ln x$ ( $a \in R$ ).

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $n \in N^{*}$ ，证明： $\frac{1}{2^{2}} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{3}{4^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{n}{{(n + 1)}^{2}} < \ln (n + 1)$ .

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22. 已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \\ y = t - 2 \end{array}$ ( $t$ 为参数)，若以直角坐标系 $x O y$ 的 $O$ 点为极点， $O x$ 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ$ .

(1)、求直线 $l$ 的倾斜角和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，设点 $P (0 ， - 2)$ ，求 $| P A | + | P B |$ .

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23. 已知 $a + b = 1$ ， $\forall a, b \in (0, + \infty)$ ， $\frac{b}{a} + \frac{1}{b} \geq | 2 x - 2 | + | x + 1 |$ 恒成立.

(1)、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，求 $\frac{b}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值；

(2)、求 $x$ 的取值范围.

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