河北省邢台市2019-2020学年高二下学期数学入学考试试卷

试卷更新日期：2021-02-02 类型：开学考试

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一、单选题

1. 若复数z满足 $\frac{z}{i} = \frac{2}{1 + i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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2. 已知 $f (x) = \tan x + 1$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导数，则 $f^{'} (\frac{π}{3}) =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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3. 复数 $z = \frac{5}{1 - 2 i} + (2 + 4 i) i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 若 $X \sim B (80 ， \frac{1}{4})$ ，则 $D (X) =$ （）

A、20 B、40 C、15 D、30

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5. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (4 ， σ^{2})$ ，若 $P (ξ < 2) = 0.3$ ，则 $P (2 < ξ < 6) =$ （）

A、0.5 B、0.4 C、0.3 D、0.6

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6. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，其导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(3 ， + \infty)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 的最大值为 $f (1)$ C、 $f (x)$ 的一个极大值为 $f (- 1)$ D、 $f (x)$ 的一个减区间为 $(1 ， 3)$

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7. 若 $f^{'} (x_{0}) = 3$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + 3 Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} =$ （）

A、3 B、9 C、 $\frac{1}{9}$ D、6

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8. 三个男生和五个女生站成一排照相，要求男生不能相邻，且男生甲不站最左端，则不同站法的种数为（）

A、12000 B、15000 C、18000 D、21000

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9. 二项式 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中第13项是常数项，则 $n =$ （）

A、18 B、21 C、20 D、30

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10. 设点P是曲线 $f (x) = {(x + 1)}^{2} - \ln x$ 上的任意一点，则点P到直线 $3 x - y - 4 = 0$ 的距离的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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11. 某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有（）

A、36种 B、48种 C、68种 D、84种

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12. 已知对任意实数x都有 $f^{'} (x) = 3 e^{x} + f (x)$ ， $f (0) = - 1$ ，若不等式 $f (x) < a (x - 2)$ （其中 $a > 0$ ）的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是（）

A、 $[\frac{4}{3 e} ， \frac{1}{2})$ B、 $[\frac{4}{3 e} ， 1)$ C、 $[\frac{7}{4 e^{2}} ， \frac{4}{3 e})$ D、 $[\frac{7}{4 e^{2}} ， \frac{1}{2})$

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二、填空题

13. 若复数 $\frac{3 - a i}{1 - 2 i} (a \in R)$ 是纯虚数，则 $| 2 a + i | =$ .

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14. 由一组观测数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，…， $(x_{n} ， y_{n})$ 得回归直线方程为 $\hat{y} = 3 x + \hat{a}$ ，若 $\bar{x} = 1.5$ ， $\bar{y} = 2$ 则 $\hat{a} =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{2 + \ln x}{x} + 1 - e$ ，则 $f (x)$ 的最大值为．

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16. 若 ${(1 + x)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{10} x^{10}$ ，则 $a_{2} + a_{6} + a_{8} =$ ； $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 10 a_{10} =$ ．

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三、解答题

17. 学生学习的自律性很重要.某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到

2 \times 2

列联表的部分数据如下表：

	自律性一般	自律性强	合计
成绩优秀			40
成绩一般		20
合计	50		100

参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(1)、补全

2 \times 2

列联表中的数据；

(2)、判断是否有99.9%的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.

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18. 设函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} + a x + b$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $y = - 12 x + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的极值.

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19. 某校2011年到2019年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数（每位学生只能参加“北约”“华约”中的一种考试）可以通过以下表格反映出来．（为了方便计算，将2011年编号为1，2012年编号为2，依此类推）

年份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
人数y	2	3	5	4	5	7	8	10	10

参考数据：回归直线的方程是 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \hat{y} - \hat{b} x$ ． $\sum_{i = 5}^{9} x_{i} y_{i} = 293$ ， $\sum_{i = 5}^{9} x_{i}^{2} = 255$ ．

(1)、求这九年来，该校参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数的平均数和方差；

(2)、根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出y与x的线性回归方程，并依此预测该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数．（最终结果精确至个位）

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20. 每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：

年龄段（单位：岁）	$[15, 25)$	$[25, 35)$	$[35, 45)$	$[45, 55)$	$[55, 65)$	$[65, 75]$
被调查的人数	10	15	20	$m$	25	5
赞成的人数	6	12	$n$	20	12	2

(1)、从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在

[35, 45)

的概率为

\frac{1}{5}

，求出表格中m，

n

的值；

(2)、若从年龄在

[45, 55)

的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X，求X的分布列．

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21. 随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降低身价飞人寻常百姓家．某科技公司为了给自己新推出的5G手机定价，随机抽取了100人进行调查，对其在下一次更换5G手机时，能接受的价格（单位：元）进行了统计，得到结果如下表，已知这100个人能接受的价格都在

[1000 ， 3500)

之间，并且能接受的价格的平均值为2350元（同一组的数据用该组区间的中点值代替）．

分组	一	二	三	四	五
手机价格X（元）	$[1000 ， 1500)$	$[1500 ， 2000)$	$[2000 ， 2500)$	$[2500 ， 3000)$	$[3000 ， 3500)$
频数	10	x	y	20	20

附： $\sqrt{39} \approx 6.24$ ．若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ．

(1)、现用分层抽样的方法从第一、二、三组中随机抽取6人，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2人，求其中恰有1人能接受的价格不低于2000元的概率；

(2)、若人们对5G手机能接受的价格X近似服从正态分布

N (μ ， σ^{2})

，其中

μ

为样本平均数

\bar{x}

，

σ^{2}

为样本方差

s^{2}

，求

P (2350 < X < 2974)

．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + m \ln x (m \in R)$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的最值；

(2)、当 $m = 2$ 时，记函数 $g (x) = f (x) - a x (a \geq 5)$ 的两个极值点为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求 $g (x_{2}) - g (x_{1})$ 的最大值.

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