上海市松江区2021届高三数学高考一模试卷

试卷更新日期：2021-02-02 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的方程为 $l_{1} : a x + y - 1 = 0$ 和 $l_{2} : x - 2 y + 1 = 0$ ，则 $a = 2$ 是“直线 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
2. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列四个结论中错误的是（）

A、直线 $B_{1} C$ 与直线 $A C$ 所成的角为 $60 °$ B、直线 $B_{1} C$ 与平面 $A D_{1} C$ 所成的角为 $60 °$ C、直线 $B_{1} C$ 与直线 $A D_{1}$ 所成的角为 $90 °$ D、直线 $B_{1} C$ 与直线 $A B$ 所成的角为 $90 °$

查看试题解析
3. 设 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若 $2 x + \frac{1}{y} = 1$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的（）

A、最小值为8 B、最大值为8 C、最小值为2 D、最大值为2

查看试题解析
4. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前项和，已知点 $(n ， a_{n})$ 在直线 $y = 10 - 2 x$ 上，若有且只有两个正整数n满足 $S_{n} \geq k$ ，则实数k的取值范围是（）

A、 $(8 ， 14]$ B、 $(14 ， 18]$ C、 $(18 ， 20]$ D、 $(18 ， \frac{81}{4}]$

查看试题解析

二、填空题

5. $\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n}}{3^{n} + 2^{n}} =$ .

查看试题解析
6. 若集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ， $B = {1, 2, 3, 4}$ ，则 $A \cap B =$ .

查看试题解析
7. 已知复数 $z$ 满足 $z \cdot (1 - i) = 1 + i$ (i为虚数单位)，则 $| z | =$ .

查看试题解析
8. 若 $\sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (π - 2 α) =$ .

查看试题解析
9. 抛物线 $y^{2} = - 4 x$ 的准线方程为.

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x)$ 图像与函数 $g (x) = 2^{x}$ 的图像关于 $y = x$ 对称，则 $f (3) =$ .

查看试题解析
11. 从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率.

查看试题解析
12. 在 ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{6}$ 的二项展开式中，常数项等于.

查看试题解析
13. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且 $| \begin{matrix} \sqrt{3} b + 2 c & 2 a \\ \cos B & 1 \end{matrix} | = 0$ ，则角 $A =$ .

查看试题解析
14. 从以下七个函数： $y = x ， y = \frac{1}{x} ， y = x^{2} ， y = 2^{x} ， y = \log_{2} x ， y = \sin x ， y = \cos x$ 中选取两个函数记为 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，构成函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ ，若 $F (x)$ 的图像如图所示，则 $F (x) =$ .

查看试题解析
15. 已知向量| $\vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{c} | = 1$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ，且 $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$ ，则 $x + y$ 的最大值为.

查看试题解析
16. 对于定义域为D的函数 $f (x)$ ，若存在 $x_{1}, x_{2} \in D$ 且 $x_{1} \neq x_{2},$ ，使得 $f (x_{1}^{2}) = f (x_{2}^{2}) = 2 f (x_{1} + x_{2})$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质M，若函数 $g (x) = | \log_{2} x - 1 |,$ 且 $x \in (0, a]$ 有性质M，则实数a的最小值为.

查看试题解析

三、解答题

17. 如图1在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B ⊥ A C ， A B = A C = 1 ， A A_{1} = 2$ ，且 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，过 $A_{1} ， C_{1} ， B$ 三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥(如图2).

(1)、求异面直线 $B C_{1}$ 与 $A A_{1}$ 所成角的大小(结果用反三角函数表示)；

(2)、求四棱锥 $B - A C C_{1} A_{1}$ 的体积和表面积.

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^{2} x + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和值域；

(2)、若对任意 $x \in R$ ， $f^{2} (x) - k \cdot f (x) - 2 \leq 0$ 的恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

查看试题解析
19. 某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量 $3 - x$ 与促销费t之间的关系为 $3 - x = \frac{k}{t + 1}$ (其中k为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.

(1)、要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t至少为多少(万元)？

(2)、已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为 $32 + \frac{3}{x}$ (元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？

查看试题解析
20. 已知椭圆Γ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点坐标为 $(2 ， 0)$ ，且长轴长为短轴长的 $\sqrt{2}$ 倍，直线l交Γ椭圆于不同的两点 $M$ 和 $N$ ，

(1)、求椭圆Γ的方程；

(2)、若直线l经过点 $P (0 ， 4)$ ，且 $△ O M N$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，求直线l的方程；

(3)、若直线l的方程为 $y = k x + t (k \neq 0)$ ，点 $M$ 关于x轴的对称点为 $M^{'}$ ，直线 $M N$ ， $M^{'} N$ 分别与x轴相交于P､Q两点，求证： $| O P | \cdot | O Q |$ 为定值.

查看试题解析
21. 对于由m个正整数构成的有限集 $M = {a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{m}}$ ，记 $P (M) = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{m}$ ，特别规定 $P (\emptyset) = 0$ ，若集合M满足：对任意的正整数 $k \leq P (M)$ ，都存在集合M的两个子集A､B，使得 $k = P (A) - P (B)$ 成立，则称集合M为“满集”，

(1)、分别判断集合 $M_{1} = {1, 2}$ 与 $M_{2} = {1, 4}$ 是否为“满集”，请说明理由；

(2)、若 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 由小到大能排列成公差为d( $d \in N^{*}$ )的等差数列，求证：集合M为“满集”的必要条件是 $a_{1} = 1,$ $d = 1$ 或2；

(3)、若 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M是“满集”

查看试题解析