上海市青浦区2021届高三上学期数学一模试卷

试卷更新日期：2021-02-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $a ， b \in R$ ，则“ $a = b$ ”是“ $\frac{a + b}{2} = \sqrt{a b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 类比平面内“垂直于同条一直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是（）

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

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3. 已知顶点在原点的锐角 $α$ 绕原点逆时针转过 $\frac{π}{6}$ 后，终边交单位圆于 $P (- \frac{1}{3}, y)$ ，则 $\sin α$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6} - 1}{6}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6} + 1}{6}$

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4. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} - x, & x \in P \\ \frac{1}{x}, & x \in M \end{matrix}$ ，其中 $P, M$ 是实数集 $R$ 的两个非空子集，又规定 $A (P) = {y | y = f (x), x \in P}$ ， $A (M) = {y | y = f (x), x \in M}$ ，则下列说法：
（1）一定有 $A (P) \cap A (M) = \emptyset$ ；（2）若 $P \cup M \neq R$ ，则 $A (P) \cup A (M) \neq R$ ；（3）一定有 $P \cap M = \emptyset$ ；（4）若 $P \cup M = R$ ，则 $A (P) \cup A (M) = R$ .
其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

5. 已知集合 $A = {1, 2, 3, 4}$ ， $B = {0, 2, 4, 6, 8}$ ，则 $A \cap B =$ .

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6. 函数 $y = 2^{x}$ 的反函数是.

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7. 行列式 $| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} |$ 中，元素3的代数余子式的值是

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8. 已知复数 $z$ 满足 $z + \frac{4}{z} = 0$ ，则 $| z | =$ .

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9. 圆锥底面半径为 $1 cm$ ，母线长为 $2 cm$ ，则其侧面展开图扇形的圆心角 $θ =$ .

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，公差 $d = 2$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}^{2}}{S_{n}} =$ .

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11. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 $x$ 的不足近似值和过剩近似值分别为 $\frac{b}{a}$ 和 $\frac{d}{c}$ $(a ， b ， c ， d \in N^{*})$ ，则 $\frac{b + d}{a + c}$ 是 $x$ 的更为精确的近似值.已知 $\frac{157}{50} < π < \frac{22}{7}$ ，试以上述 $π$ 的不足近似值 $\frac{157}{50}$ 和过剩近似值 $\frac{22}{7}$ 为依据，那么使用两次“调日法”后可得 $π$ 的近似分数为.

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12. 在二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{a x^{2}})}^{5} (a > 0)$ 的展开式中x^﹣⁵的系数与常数项相等，则a的值是．

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13. 点 $A$ 是椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的一个交点，点 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C_{1}$ 的两个焦点，则 $| A F_{1} | \cdot | A F_{2} |$ 的值为.

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14. 盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．

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15. 记 $a_{m}$ 为数列 ${3^{n}}$ 在区间 $(0, m] (n \in N^{*})$ 中的项的个数，则数列 ${a_{m}}$ 的前 $100$ 项的和 $S_{100} =$ .

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16. 已知向量 $\vec{e}$ 的模长为1，平面向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 满足： $| \vec{m} - 2 \vec{e} | = 2, | \vec{n} - \vec{e} | = 1$ ，则 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点P为棱 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $B D_{1} / /$ 平面PAC；

(2)、求异面直线 $B D_{1}$ 与AP所成角的大小.

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18. 设函数 $f (x) = x^{2} + | x - a |$ ， $a$ 为常数.

(1)、若 $f (x)$ 为偶函数，求 $a$ 的值；

(2)、设 $a > 0$ ， $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ， $x \in (0, a]$ 为减函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 如图，矩形 $A B C D$ 是某个历史文物展览厅的俯视图，点 $E$ 在 $A B$ 上，在梯形 $D E B C$ 区域内部展示文物， $D E$ 是玻璃幕墙，游客只能在△ $A D E$ 区域内参观．在 $A E$ 上点 $P$ 处安装一可旋转的监控摄像头， $∠ M P N$ 为监控角，其中 $M$ 、 $N$ 在线段 $D E$ （含端点）上，且点 $M$ 在点 $N$ 的右下方．经测量得知： $A D = 6$ 米， $A E = 6$ 米， $A P = 2$ 米， $∠ M P N = \frac{π}{4}$ ．记 $∠ E P M = θ$ （弧度），监控摄像头的可视区域△ $P M N$ 的面积为 $S$ 平方米．

(1)、分别求线段 $P M$ 、 $P N$ 关于 $θ$ 的函数关系式，并写出 $θ$ 的取值范围；

(2)、求 $S$ 的最小值．

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20. 已知动点 $M$ 到直线 $x + 2 = 0$ 的距离比到点 $F (1, 0)$ 的距离大 $1$ .

(1)、求动点 $M$ 所在的曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $P (1, 2)$ ， $A 、 B$ 是曲线 $C$ 上的两个动点，如果直线 $P A$ 的斜率与直线 $P B$ 的斜率互为相反数，证明直线 $A B$ 的斜率为定值，并求出这个定值；

(3)、已知点 $P (1, 2)$ ， $A 、 B$ 是曲线 $C$ 上的两个动点，如果直线 $P A$ 的斜率与直线 $P B$ 的斜率之和为2，证明：直线 $A B$ 过定点.

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21. 若无穷数列 ${a_{n}}$ 和无穷数列 ${b_{n}}$ 满足：存在正常数A，使得对任意的 $n \in N^{*}$ ，均有 $| a_{n} - b_{n} | \leq A$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 具有关系 $P (A)$ ．

(1)、设无穷数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 均是等差数列，且 $a_{n} = 2 n$ ， $b_{n} = n + 2 (n \in N^{*})$ ，问：数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 是否具有关系 $P (1)$ ？说明理由；

(2)、设无穷数列 ${a_{n}}$ 是首项为1，公比为 $\frac{1}{3}$ 的等比数列， $b_{n} = a_{n + 1} + 1$ ， $n \in N^{*}$ ，证明：数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 具有关系 $P (A)$ ，并求A的最小值；

(3)、设无穷数列 ${a_{n}}$ 是首项为1，公差为 $d (d \in R)$ 的等差数列，无穷数列 ${b_{n}}$ 是首项为2，公比为 $q (q \in N^{*})$ 的等比数列，试求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 具有关系 $P (A)$ 的充要条件．

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