上海市浦东新区2021届高三上学期数学一模试卷

试卷更新日期：2021-02-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若 $a$ 、 $b$ 是实数，则 $a > b$ 是 $2^{a} > 2^{b}$ 的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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2. 若某线性方程组的增广矩阵为 $(\begin{matrix} 1 & 2 & 8 \\ 2 & 4 & 16 \end{matrix})$ ，则该线性方程组的解的个数为（）

A、0个 B、1个 C、无数个 D、不确定

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3. 下列命题中正确的是（）

A、三点确定一个平面 B、垂直于同一直线的两条直线平行 C、若直线 $l$ 与平面 $α$ 上的无数条直线都垂直，则直线 $l ⊥ α$ D、若 $a 、 b 、 c$ 是三条直线， $a / / b$ 且与 $c$ 都相交，则直线 $a 、 b 、 c$ 共面.

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2}, x 为无理数 \\ x, x 为有理数 \end{matrix}$ ，则以下4个命题：
① $f (x)$ 是偶函数；② $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上是增函数；③ $f (x)$ 的值域为 $R$ ；④对于任意的正有理数 $a$ ， $g (x) = f (x) - a$ 存在奇数个零点.其中正确命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

5. $\lim_{n \to \infty} (\frac{n}{2 n + 1}) =$ .

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6. 半径为2的球的表面积为.

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7. 抛物线 $x^{2} = - 4 y$ 的准线方程为.

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8. 已知集合 $A = {x | x > 0}$ ， $B = {x | x^{2} \leq 1}$ ，则 $A \cap B$ = ．

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9. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 4$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ .

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10. 在 $△ A B C$ 中，若 $A B = 2$ ， $∠ B = \frac{5 π}{12}$ ， $∠ C = \frac{π}{4}$ ，则 $B C =$ .

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11. 函数 $f (x) = 1 + \log_{2} x$ $(x \geq 4)$ 的反函数的定义域为.

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12. 在 ${(x + \sqrt{2})}^{7}$ 的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为．（用数字作答）

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13. 正方形 $A B C D$ 的边长为2，点 $E$ 和 $F$ 分别是边 $B C$ 和 $A D$ 上的动点，且 $C E = A F$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的取值范围为．

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14. 若等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $| \begin{matrix} a_{n + 1} & S_{n} \\ 1 & 1 \end{matrix} | = 2$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 为．

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15. 设函数 $f (x) = | x - a | - \frac{2}{x} + a$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 1$ 有且仅有两个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值构成的集合为．

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16. 对于任意的正实数 $a$ ， $b$ ，则 $\frac{2 \sqrt{2} a + \sqrt{a^{2} + 9 b^{2}}}{5 a + 3 b}$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 如图，直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A B = A C = 1$ ， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $A_{1} A = 4$ ，点 $M$ 为线段 $A_{1} A$ 的中点．

(1)、求直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 的体积；

(2)、求异面直线 $B M$ 与 $B_{1} C_{1}$ 所成的角的大小．（结果用反三角表示）

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18. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6})$ $(ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $ω$ 与 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{A}{2}) = 1$ ，求 $\sin B + \sin C$ 的取值范围.

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19. 勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施.某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前 $n (n = 1, 2, 3, \dots, 12)$ 个月对某种食材的需求总量 $S_{n}$ （公斤）近似地满足 $S_{n} = {\begin{matrix} 635 n \begin{matrix} \end{matrix} (1 \leq n \leq 6) \\ - 6 n^{2} + 774 n - 618^{} (7 \leq n \leq 12) \end{matrix}$ ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前 $n$ 个月的进货总量须不低于前 $n$ 个月的需求总量.

(1)、如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？

(2)、若每月初等量进货 $p$ （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求 $p$ 的最小值．

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20. 已知椭圆 $C_{1} ：$ $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为 $C_{1}$ 的左、右焦点.

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的焦距；

(2)、点 $Q (\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 为椭圆 $C_{1}$ 一点，与 $O Q$ 平行的直线 $l$ 与椭圆 $C_{1}$ 交于两点A、B，若 $△ Q A B$ 面积为 $1$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、已知椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2} ： x^{2} - y^{2} = 1$ 在第一象限的交点为 $M (x_{M} ， y_{M})$ ，椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 上满足 $| x | \geq | x_{M} |$ 的所有点 $(x ， y)$ 组成曲线 $C$ ．若点 $N$ 是曲线 $C$ 上一动点，求 $\vec{N F_{1}} \cdot \vec{N F_{2}}$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $D$ ，若对于任意的 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in D$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，则称函数 $f (x)$ 在 $D$ 上为非减函数.

(1)、判断 $f_{1} (x) = x^{2} - 4 x$ ， $x \in [1, 4]$ 与 $f_{2} (x) = | x - 1 | + | x - 2 |$ ， $x \in [1, 4]$ 是否是非减函数?

(2)、已知函数 $g (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x - 1}}$ 在 $[2, 4]$ 上为非减函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、已知函数 $h (x)$ 在 $[0, 1]$ 上为非减函数，且满足条件：① $h (0) = 0$ ，② $h (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2} h (x)$ ，③ $h (1 - x) = 1 - h (x)$ ，求 $h (\frac{1}{2020})$ 的值.

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