上海市奉贤区2021届高三上学期数学一模试卷

试卷更新日期：2021-02-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $a$ ， $b \in R$ ，则 “ $2^{a} > 2^{| b |}$ ”是 “ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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2. 设 $\vec{d}$ 是直线 $l_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ 的一个方向向量， $\vec{n}$ 是直线 $l_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ 的一个法向量，设向量 $\vec{d}$ 与向量 $\vec{n}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $| \cos θ |$ 为（）

A、 $\frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}$ B、 $\frac{| a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}$ C、 $\frac{| a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}$ D、 $\frac{| a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}$

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3. 已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米，地面上的动点 $P$ 到两旗杆顶点的仰角相等，则点 $P$ 的轨迹是（）

A、椭圆 B、圆 C、双曲线 D、抛物线

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4. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.其定义黎曼函数 $R (x)$ 为：当 $x = \frac{q}{p}$ （ $p, q$ 为正整数， $\frac{q}{p}$ 是既约真分数）时 $R (x) = \frac{1}{p}$ ，当 $x = 0$ 或 $x = 1$ 或 $x$ 为 $[0, 1]$ 上的无理数时 $R (x) = 0$ .已知 $a$ 、 $b$ 、a+b都是区间 $[0, 1]$ 内的实数，则下列不等式一定正确的是（）

A、 $R (a + b) \geq R (a) + R (b)$ B、 $R (a \cdot b) \geq R (a) \cdot R (b)$ C、 $R (a + b) \leq R (a) + R (b)$ D、 $R (a \cdot b) \leq R (a) \cdot R (b)$

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二、填空题

5. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上的一点 $P$ 到椭圆一个焦点的距离为 $6$ ，则点 $P$ 到另一个焦点的距离为.

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6. 在 ${(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 展开式中，常数项为.（用数值表示）

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7. 若实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \leq 1 \\ x - 2 y \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最大值为．

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8. 复数 $\frac{2 + 4 i}{1 + i}$ 的虚部是.

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9. 设集合 $A = {x | y = \lg (x^{2} - 4 x + 5)}$ ，则 $A =$ .

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (3 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称，则 $φ =$ .

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11. 等差数列 ${a_{n}}$ 中，公差为 $d$ ，设 $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项之和，且 $d > 1$ ，计算 $\lim_{n \to \infty} (\frac{S_{n}}{(n + 1) a_{n}} + \frac{1}{d^{n}}) =$ .

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12. 若抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的准线与曲线 $\frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (y \geq 0)$ 只有一个交点，则实数 $a$ 满足的条件是.

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13. 某工厂生产 $A$ 、 $B$ 两种型号的不同产品，产品数量之比为 $2 : 3$ .用分层抽样的方法抽出一个样本容量为 $n$ 的样本，则其中 $A$ 种型号的产品有 $14$ 件.现从样本中抽出两件产品，此时含有 $A$ 型号产品的概率为.

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14. 对于正数 $a$ 、 $b$ ，称 $\frac{a + b}{2}$ 是 $a$ 、 $b$ 的算术平均值，并称 $\sqrt{a b}$ 是 $a$ 、 $b$ 的几何平均值.设 $x > 1$ ， $y > 1$ ，若 $\ln x$ 、 $\ln y$ 的算术平均值是1，则 $e^{x}$ 、 $e^{y}$ 的几何平均值（ $e$ 是自然对数的底）的最小值是.

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15. 在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P_{1} ， P_{2}$ 分别是线段 $A B ， B D_{1}$ （不包括端点）上的动点，且线段 $P_{1} P_{2}$ 平行于平面 $A_{1} A D D_{1}$ ，则四面体 $P_{1} P_{2} A B_{1}$ 的体积的最大值是.

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16. 已知 $y = f (x)$ 是奇函数，定义域为 $[- 1 ， 1]$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = | {(\frac{1}{2})}^{2 x - 1} - x^{α} | - 1$ （ $α > 0 ， α \in Q$ ），当函数 $g (x) = f (x) - t$ 有3个零点时，则实数 $t$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ A B C = ∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $A D = 2$ ， $A B = B C = 1$ .

(1)、当四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $1$ 时，求异面直线 $A C$ 与 $P D$ 所成角的大小；

(2)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ .

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18. 在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度 $v$ （单位： $m / s$ ）和燃料的质量 $M$ （单位： $k g$ ），火箭（除燃料外）的质量 $m$ （单位： $k g$ ）满足 $e^{v} = {(1 + \frac{M}{m})}^{2000}$ （ $e$ 为自然对数的底）.

(1)、当燃料质量 $M$ 为火箭（除燃料外）质量 $m$ 的两倍时，求火箭的最大速度（单位： $m / s$ ）结果精确到0.1）；

(2)、当燃料质量 $M$ 为火箭（除燃料外）质量 $m$ 的多少倍时，火箭的最大速度可以达到 $8000$ $m / s$ （结果精确到0.1）.

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19. 在① $a c = \sqrt{3}$ ；② $c \sin A = 3$ ；③ 三边成等比数列.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由.
问题：是否存在 $△ A B C$ ，它的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $\sin A = \sqrt{3} \sin B$ ， $C = \frac{π}{6}$ ，_______.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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20. 如图，曲线 $τ$ 的方程是 $x^{2} - y | y | = 1$ ，其中 $A$ 、 $B$ 为曲线 $τ$ 与 $x$ 轴的交点， $A$ 点在 $B$ 点的左边，曲线 $τ$ 与 $y$ 轴的交点为 $D$ .已知 $F_{1}$ $(- c ， 0)$ ， $F_{2}$ $(c ， 0)$ ， $c > 0$ ， $△ D B F_{1}$ 的面积为 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ .

(1)、过点 $B$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交曲线 $τ$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点（异于 $B$ 点），点 $P$ 在第一象限，设点 $P$ 的横坐标为 $x_{P}$ 、 $Q$ 的横坐标为 $x_{Q}$ ，求证： $x_{P} \cdot x_{Q}$ 是定值；

(2)、过点 $F_{2}$ 的直线 $n$ 与曲线 $τ$ 有且仅有一个公共点，求直线 $n$ 的倾斜角范围；

(3)、过点 $B$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交曲线 $τ$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点（异于 $B$ 点），点 $P$ 在第一象限，当 $\overset{⇀}{F_{1} P} \cdot \overset{⇀}{F_{1} Q} = 3 + 2 \sqrt{2}$ 时，求 $\overset{⇀}{| A P |} = λ | \overset{⇀}{A Q} |$ 成立时 $λ$ 的值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} \neq 0$ 恒成立.

(1)、若 $a_{n} a_{n + 2} = k a_{n + 1}^{2}$ 且 $a_{n} > 0$ ，当 ${\lg a_{n}}$ 成等差数列时，求 $k$ 的值；

(2)、若 $a_{n} a_{n + 2} = 2 a_{n + 1}^{2}$ 且 $a_{n} > 0$ ，当 $a_{1} = 1$ 、 $a_{4} = 16 \sqrt{2}$ 时，求 $a_{2}$ 以及 $a_{n}$ 的通项公式；

(3)、若 $a_{n} a_{n + 2} = - \frac{1}{2} a_{n + 1} a_{n + 3}$ ， $a_{1} = - 1$ ， $a_{3} \in [4, 8]$ ， $a_{2020} < 0$ ，设 $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项之和，求 $S_{2020}$ 的最大值.

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