浙江省之江联盟2020届高三下学期数学4月开学考试试卷

试卷更新日期：2021-02-02 类型：开学考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | 3 \leq x \leq 10}$ ， $B = {x | 2 < x < 7}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 2 < x \leq 10}$ B、 ${x | 2 < x < 7}$ C、 ${x | 3 \leq x < 7}$ D、 ${x | 3 \leq x \leq 10}$

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2. 若函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{x} + a$ 在区间 $(1 ， e)$ 上存在零点，则常数a的取值范围为（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $\frac{1}{e} < a < 1$ C、 $\frac{1}{e} - 1 < a < 1$ D、 $\frac{1}{e} + 1 < a < 1$

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3. “ $x = 1$ ”是“ $\lg^{2} x - \lg x = 0$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} 3 x + 4 y \geq 3 ， \\ y - 3 \leq 0 ， \\ x - y \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最小值为（）

A、-3 B、 $\frac{9}{7}$ C、3 D、9

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5. 函数f（x） $= \frac{l n x}{x + 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b \sin A = 2 c \sin B$ ， $\cos B = \frac{1}{4}$ ， $b = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $9 \sqrt{15}$ B、 $\frac{9 \sqrt{15}}{16}$ C、 $\frac{3 \sqrt{15}}{16}$ D、 $\frac{9}{16}$

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7. 国际象棋比赛中规定，胜方得 $1$ 分，负方得0分，和棋得0.5分.2019年浙江省青少年国际象棋公开赛中，某选手每场比赛得分的分布列如下：

$X$

1

0.5

0

$P$

$a$

$b$

$c$

且 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 8$ ，则该选手进行一场比赛得分的期望一定不可能的是（）

A、0.3 B、0.5 C、0.7 D、0.8

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8. 四面体 $A B C D$ 中， $A B = C D = 3$ ，其余棱长均为4， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $C D$ 上的点（不含端点），则（）

A、不存在 $E$ ，使得 $E F ⊥ C D$ B、存在 $E$ ，使得 $D E ⊥ C D$ C、存在 $E$ ，使得 $D E ⊥$ 平面 $A B C$ D、存在 $E$ ， $F$ ，使得平面 $C D E ⊥$ 平面 $A B F$

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9. 已知动点 $A$ ， $B$ 关于坐标原点 $O$ 对称， $| A B | = 2$ ， $⊙ M$ 过点 $A$ ， $B$ 且与直线 $y = 1$ 相切.若存在定点 $P$ ，使得 $| M A | - | M P |$ 为定值，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(0, - \frac{1}{2})$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, - 1)$

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10. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} \in (- \frac{1}{2} ， 0)$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} - \ln (1 + a_{n}) (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $a_{2} > \frac{1}{5}$ ， $S_{4} > \frac{3}{5}$ B、 $a_{2} > \frac{1}{5}$ ， $S_{4} < \frac{3}{5}$ C、 $a_{2} < \frac{1}{5}$ ， $S_{4} > \frac{3}{5}$ D、 $a_{2} < \frac{1}{5}$ ， $S_{4} < \frac{3}{5}$

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二、填空题

11. 若复数 $z = \frac{3 - 2 i}{i}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的虚部为； $| z | =$ ．

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12. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的焦距是，离心率是．

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13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，它系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示（单位： $cm$ ），则该阳马的体积为 $c m^{3}$ ，最长的棱长为 $c m$ ．

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14. 若 $x^{6} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + \cdot \cdot \cdot + a_{5} {(x - 1)}^{5} + a_{6} {(x - 1)}^{6}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} =$ ， $a_{5} =$ ．

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15. “2019曹娥江国际马拉松”在上虞举行，现要选派5名志愿者服务于 $A, B, C, D$ 四个不同的运动员救助点，每个救助点至少分配1人，若志愿者甲要求不到A救助点，则不同的分派方案有种.

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16. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ．对任意的 $t \in R$ ，都有 $| 2 \vec{a} - t \vec{b} | \geq \sqrt{3} | \vec{b} |$ 成立，则 $| \vec{b} |$ 的取值范围是．

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17. 已知函数 $f (x) = | x^{2} + \frac{a}{x} - t |$ （ $10 \leq a \leq 20$ ，且 $a \in N$ ）在 $[1 ， 4]$ 上的最大值为 $g (t)$ ，若 $g (t)$ 的最小值为 $4$ ，则常数 $a =$ ．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sin x \cos (\frac{π}{2} + x) + \sqrt{3} \sin x \cos x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x) = a$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个不同的解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求 $a$ 的范围及 $x_{1} + x_{2}$ 的值．

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19. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A D ⊥ A S$ ， $A D = 2$ ， $C D = \sqrt{2}$ ， $A B = B C = A S = 1$ ， $∠ S A B = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求证： $A D ⊥ B S$ ；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $S A C$ 所成角的正弦值．

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20. 已知公差为2等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ 满足 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{4}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明；当 $n \geq 2$ 时， $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{2 a_{2}} + \frac{1}{3 a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n a_{n}} < \frac{3}{2}$ ．

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21. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ， $F$ 为其右焦点，直线 $x = 4$ 上动点 $A$ 到椭圆 $E$ 上点的距离的最小值为2．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、线段 $A F$ 交椭圆 $E$ 于点 $B$ ，直线 $A C$ 与椭圆 $E$ 有且仅有一个公共点 $C$ ．试证明 $F A ⊥ F C$ ，并求 $△ F B C$ 面积的最小值．

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22. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ， $g (x) = a x - 1$ ．

(1)、当 $a$ 为何值时，直线 $y = g (x)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得 $g (x) \geq a \cdot f (a x)$ 恒成立？若存在，求实数 $a$ 的取值集合；若不存在，请说明理由．

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$X$	1	0.5	0
$P$	$a$	$b$	$c$