陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期理数第一次高考模拟测试试卷

试卷更新日期：2021-02-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数z为纯虚数，且 $z = \frac{m + i}{1 - 2 i}, m \in R$ ，则 $m =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、-2 D、2

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2. 集合 $A = {3, \log_{2} a}, B = {a, b}$ ，若 $A \cap B = {0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0, 3}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${0, 2, 3}$ D、 ${0, 1, 3}$

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3. 如图，角 $α ， β$ 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O分别交于A，B两点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} =$ （）

A、 $\cos (α - β)$ B、 $\cos (α + β)$ C、 $\sin (α - β)$ D、 $\sin (α + β)$

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4. 下列四个函数：① $y = 2 x + 3$ ；② $y = \frac{1}{x}$ ；③ $y = 2^{x}$ ；④ $y = x^{\frac{1}{2}}$ ，其中定义域与值域相同的函数的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 在△ $A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E为 $A D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$

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6. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、 $\dots$ ，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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7. 已知 $a, b$ 是两条直线， $α, β$ 是两个平面，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 的一个充分条件是（）

A、 $a ⊥ α$ ， $b / / β$ ， $α ⊥ β$ B、 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $α / / β$ C、 $a \subset α$ ， $b ⊥ β$ ， $α / / β$ D、 $a \subset α$ ， $b / / β$ ， $α ⊥ β$

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8. 若 $f (x) = 2 | \sin x | \cos x$ ，则（）

A、图像关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 B、图像关于 $(\frac{π}{2}, 0)$ 对称 C、最小正周期为 $π$ D、在 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 上单调递增

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9. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $b = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，则 $\sin B =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{39}}{13}$ B、 $\frac{\sqrt{39}}{13}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{13}$ D、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，若 $△ A B F_{2}$ 为等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{7}$ D、3

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11. 设 $0 < a < \frac{1}{2}, 0 < b < \frac{1}{2}$ ，随机变量的分布

$ξ$

-1

0

1

P

$\frac{1}{2}$

a

b

则当a在 $(0, \frac{1}{2})$ 内增大时，（）

A、 $E (ξ)$ 增大， $D (ξ)$ 增大 B、 $E (ξ)$ 增大， $D (ξ)$ 减小 C、 $a E (ξ)$ 减小， $D (ξ)$ 增大 D、 $E (ξ)$ 减小， $D (ξ)$ 减小

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12. 已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，且 $f (x)$ 在 $(- 1, 0)$ 上递减.若 $a = f (5^{- \frac{1}{2}})$ ， $b = f (- \ln 2)$ ， $c = f (\log_{3} 18)$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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二、填空题

13. 若二项式 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为.

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14. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若 $| A F | = 4$ ，则 $△ O A B$ (O为坐标原点)的面积为.

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15. 已知一个棱长为1的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则该半球体(包括底面)的表面积为.

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16. 若 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ ，则下面不等式正确的是.
① $x_{1} \ln x_{1} < x_{2} \ln x_{2}$ ；② $x_{2} \ln x_{1} < x_{1} \ln x_{2}$ ；③ $x_{1} e^{x_{1}} > x_{2} e^{x_{2}}$ ；④ $x_{2} e^{x_{1}} > x_{1} e^{x_{2}}$ ；⑤ $e^{x_{2}} - e^{x_{1}} < \ln x_{2} - \ln x_{1}$ .

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{3} = 5$ ， $S_{7} = 49$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} \sqrt{S_{n} S_{n + 1}} = {(- 1)}^{n} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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18. 为了推进分级诊疗，实现“基层首诊､双向转诊､急慢分治､上下联动”的诊疗模式，某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务.已知该城市居民约为1000万，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.

(1)、估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；

(2)、据统计，该城市被访者的签约率约为44%.为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由.

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19. 如图，在正四面体 $A - B C D$ 中，点E，F分别是 $A B ， B C$ 的中点，点G，H分别在 $C D ， A D$ 上，且 $D H = \frac{1}{4} A D$ ， $D G = \frac{1}{4} C D$ .

(1)、求证：直线 $E H ， F G$ 必相交于一点，且这个交点在直线 $B D$ 上；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $E F G H$ 所成角的正弦值.

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20. 已知椭圆 $Γ ： x^{2} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 (a > 1)$ 与抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 有相同的焦点 $F$ ，抛物线 $C$ 的准线交椭圆 $Γ$ 于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = 1$ .

(1)、求椭圆 $Γ$ 与抛物线 $C$ 的方程；

(2)、 $O$ 为坐标原点，若 $P$ 为椭圆 $Γ$ 上任意一点，以 $P$ 为圆心， $O P$ 为半径的圆 $P$ 与椭圆 $Γ$ 的焦点 $F$ 为圆心，以 $\sqrt{5}$ 为半径的圆 $F$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求证： $| M N |$ 为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， x \leq 0 \\ - x^{2} + 2 x - \frac{1}{2} ， x > 0 \end{array}$ .

(1)、设 $g (x) = x f (x)$ ，求 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、求证：存在恰有2个切点的曲线 $y = f (x)$ 的切线.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线l过点 $P (0 ， 2)$ ，倾斜角为 $α (α \neq \frac{π}{2})$ .以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为： $ρ \cos^{2} θ - 2 \sin θ = 0$ .

(1)、求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)、若直线l交曲线C于A，B两点，M为 $A B$ 中点，且满足 $| P A | ， | P M | ， | P B |$ 成等比数列，求直线l的斜率.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | 2 x - 3 |$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、当 $x \in [a, 2 a - 2]$ 时，不等式 $f (x) ⩽ | x + 5 |$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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$ξ$	-1	0	1
P	$\frac{1}{2}$	a	b