浙江省金华市兰溪市第三中学2020届高三下学期数学寒假返校考试试卷

试卷更新日期：2021-02-02 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 5 x + 6 \leq 0}$ ， $B = {x \in Z | 1 < x < 5}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $(1, 5)$ C、 ${2, 3}$ D、 ${2, 3, 4}$

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的焦距是（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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3. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $\frac{{(1 - i)}^{2}}{z} = 1 + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、1 D、 $\sqrt{5}$

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4. 某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ）则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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5. 函数 $f (x)$ = ${(3^{a x} - b)}^{2}$ 的图象如图所示，则（）

A、 $a > 0$ 且 $b > 1$ B、 $a > 0$ 且 $0 < b < 1$ C、 $a < 0$ 且 $b > 1$ D、 $a < 0$ 且 $0 < b < 1$

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6. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则“ $\lg (a b) > 0$ ”是“ $\lg (a + b) > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点， $C$ 是点 $A$ 关于原点的对称点，若 $C F ⊥ A B$ ， $C F = A B$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6} - \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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8. 设 $0 < a < 1$ ，随机变量 $X$ 的分布列是（见下表）则当 $a$ 在区间 $(0, 1)$ 内增大时，（）

$X$

0

$a$

1

$P$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}$

A、 $D (X)$ 增大 B、 $D (X)$ 减小 C、 $D (X)$ 先增大后减小 D、 $D (X)$ 先减小后增大

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9. 如图，已知平面 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = l$ ， $A$ 、 $B$ 是直线 $l$ 上的两点， $C$ 、 $D$ 是平面 $β$ 内的两点，且 $D A ⊥ l$ ， $C B ⊥ l$ ， $A D = 3$ ， $A B = 6$ ， $C B = 6$ ． $P$ 是平面 $α$ 上的一动点，且直线 $P D$ ， $P C$ 与平面 $α$ 所成角相等，则二面角 $P - B C - D$ 的余弦值的最小值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + b a_{n}^{2} (n \in N^{*})$ ，则下列说法错误的是（）

A、当 $b = - 1$ 时， $a_{n} > a_{n + 1}$ B、当 $b = - 1$ 时， $a_{n} \leq 2 a_{n + 1}$ C、当 $b = 2$ 时， $a_{n} > \frac{3^{n - 1}}{4}$ D、当 $b = 2$ 时， $a_{n + 1} \leq 2 a_{n}$

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二、填空题

11. 我国清代古算书《御制数理精蕴》里面记载这样一个问题：设有马四匹，牛六头，共价四十八两；马三匹，牛五头，共价三十八两，问：牛马各几何？
答：马两/匹；牛两/头．

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12. $(x + 2) {(x + 1)}^{6}$ 展开式中， $x^{3}$ 项的系数为；所有项系数的和为.

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13. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} y \geq 0 \\ x + y \geq 1 \\ x + 3 y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则由不等式组确定的可行域的面积为； $z = 2 x - y$ 的最大值为．

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14. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $c = 3$ ， $A + 3 C = π$ ，则 $\cos C =$ ， $S_{Δ A B C} =$ .

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15. 某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是（用数字作答）．

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16. 已知函数 $f (x) = | x^{2} + a x - 2 | - 6$ ，若存在 $a \in R$ ，使得 $f (x)$ 在 $[2, b]$ 上恰有两个零点，则实数 $b$ 的最小值是.

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17. 设 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 为平面向量， $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，若 $(2 \vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$ ，则 $\vec{c} \cdot \vec{b}$ 的最大值为．

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三、解答题

18. 已知 $f (x) = 2 \sin x \sin (x + \frac{π}{3}) + \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (\frac{5 π}{12})$ 的值；

(2)、若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{1}{5}$ ，求 $\sin α$ 的值.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B = B C = 2$ ， $∠ A C B = 30^{\circ}$ ， $∠ C_{1} C B = 60^{\circ}$ ， $B C_{1} ⊥ A_{1} C$ ， $E$ 为 $A C$ 的中点，侧棱 $C C_{1} = 2$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $C_{1} E B$ ；

(2)、求直线 $C C_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值．

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20. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{4} = 2 a_{4} - 1$ ， $S_{3} = 2 a_{3} - 1$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} \cdot a_{n + 1})$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{T_{1}} + \frac{1}{T_{2}} + \dots + \frac{1}{T_{n}} < 2$ .

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21. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $0 < p < 6$ ）的焦点为 $F$ ， $A$ 为 $C$ 上一动点，点 $Q (4 ， 0)$ ，以线段 $Q A$ 为直径作 $⊙ M$ .当 $⊙ M$ 过 $F$ 时， $Δ Q A F$ 的面积为3.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、是否存在垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ ，使得 $l$ 被 $⊙ M$ 所截得的弦长为定值？若存在，求 $l$ 的方程；若不存在，说明理由.

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22. 设函数 $f (x) = e^{x} + a \sqrt{x + 1}$ ， $x \geq - 1$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，若 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的极值点，求证： $- \frac{1}{2} < x_{0} < 0$

(2)、若不等式 $2 + \frac{5}{4} x + \frac{a}{2} x^{2} \leq \frac{f (x)}{a}$ 对任意 $x \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．注： $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数．

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$X$	0	$a$	1
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$