陕西省汉中市2020-2021学年高三上学期理数第一次模拟试卷

试卷更新日期：2021-02-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 2 > 0}, B = {- 1, 0, 2}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、{2} B、 ${- 1, 0}$ C、 ${0, 2}$ D、 ${- 1, 0, 2}$

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2. 设复数 $z = \frac{5 i}{4 + 3 i}$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 设 $x = θ$ 是函数 $f (x) = 3 \cos x + \sin x$ 的一个极值点，则 $\tan θ =$ （）

A、-3 B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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4. 埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国.古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂，采用的思路可以说是世界上独一无二的.古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数.埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确的是（）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$ B、 $\frac{1}{2^{2} - 1} + \frac{1}{4^{2} - 1} + \frac{1}{6^{2} - 1} + \dots + \frac{1}{50^{2} - 1} = \frac{50}{51}$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{11}{12}$ D、 $\frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \dots + \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + 50} = \frac{49}{51}$

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5. 已知直线 $l_{1} : a x + (a + 2) y + 1 = 0, l_{2} : x + a y + 2 = 0 (a \in R)$ ，则“ $e^{a} = \frac{1}{e}$ ”是“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 过三点 $A (3, 1), B (- 7, 1), C (2, 4)$ 的圆交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点，则 $| M N | =$ （）

A、8 B、10 C、 $4 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{21}$

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7. 五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{7}{10}$ C、 $\frac{9}{20}$ D、 $\frac{11}{20}$

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8. 设 $l, m$ 是两条不同的直线， $α$ 是一个平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $l ⊥ m, m \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $l ⊥ α, l ⊥ m$ ，则 $m // α$ C、若 $l ⊥ α, l // m$ ，则 $m ⊥ α$ D、若 $l / / α, m / / α$ ，则 $l // m$

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9. 设 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 $P$ ，满足 $| P F_{2} | = | F_{1} F_{2} |$ 且 $F_{2}$ 到直线 $P F_{1}$ 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{- 1 + \sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{3}$

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10. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 90 ° ， A B = 1 ， B C = \sqrt{3} ， A A_{1} = 2$ ，则三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的表面积为（）

A、32π B、16π C、12π D、8π

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11. 若 $\ln x - \ln y < \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{\ln y} (x > 1 ， y > 1)$ ，则（）

A、 $e^{y - x} > 1$ B、 $e^{y - x} < 1$ C、 $e^{y - x - 1} > 1$ D、 $e^{y - x - 1} < 1$

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12. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ ， $\vec{b} = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$ ， ${\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}}$ 是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算： $\vec{a} \times \vec{b} = (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}) \vec{i} + (a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}) \vec{j} + (a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}) \vec{k} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} | = (| \begin{matrix} a_{y} & a_{z} \\ b_{y} & b_{z} \end{matrix} |, - | \begin{matrix} a_{x} & a_{z} \\ b_{x} & b_{z} \end{matrix} |, | \begin{matrix} a_{x} & a_{y} \\ b_{x} & b_{y} \end{matrix} |)$ 其中行列式计算表示为 $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$ ，若向量 $\vec{A B} = (2, 1, 4), \vec{A C} = (3, 1, 2),$ 则 $\vec{A B} \times \vec{A C} =$ （）

A、 $(- 4, - 8, - 1)$ B、 $(- 1, 4, - 8)$ C、 $(- 2, 8, - 1)$ D、 $(- 1, - 4, - 8)$

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二、填空题

13. 已知 $m = \int_{0}^{1} x d x$ ，向量 $\overset{⇀}{a} = (m, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 6,$ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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14. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的第四项是 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{4}$ 的展开式中的常数项，且首项 $a_{1} = 3$ ，则 ${a_{n}}$ 通项公式为 $a_{n} =$ .

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15. 为了弘扬张骞开拓进取精神，传承中华优秀传统文化，第四届中国古筝日“盛世国乐，筝韵天下”汉中片区大型公益活动在久负盛名的张骞纪念馆盛大举行.其中有《百人齐奏》､《二重奏》､《独奏》､《小合唱》､《伴唱》和《茶艺》六个表演节目，如果《百人齐奏》必须排第一个，《小合唱》和《伴唱》不能连续出场，那么出场顺序的排法种数为.(用数字作答)

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16. 已知函数 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的偶函数，对任意的 $x \in R$ 都有 $f (x + 8) = f (x) + f (4)$ ，当 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， 4]$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，给出下列命题：
① $f (4) = 0$ ；

②函数 $y = f (x)$ 在 $[- 12 ， - 8]$ 上是递增的；

③函数 $y = f (x)$ 的图像关于直线 $x = - 8$ 对称；

④函数 $y = f (x)$ 在 $[- 12 ， 12]$ 上有四个零点.

其中所有真命题的序号是.

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三、解答题

17. $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，满足 $2 c = a + 2 b \cos A$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $Δ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{13}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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18. 为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车.生产前，厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查.在20~60岁的人群中随机抽取了100人，调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示：

年龄	$[20 ， 28)$	$[28 ， 36)$	$[36 ， 44)$	$[44 ， 52)$	$[52 ， 60)$
接受的人数	14	6	15	28	17

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

(1)、由以上统计数据填

2 \times 2

列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？

	44岁以下	44岁及44岁以上	总计
接受
不接受
总计

(2)、若以44岁为分界点，从不接受“纯电动汽车”的人群中，按分层抽样的方法抽取8人调查不接受“纯电动汽车”的原因，现从这8人中随机抽取2人.记抽到44岁以下的人数为

X

，求随机变量

X

的分布列及数学期望.

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是正方形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $E$ 在棱 $P B$ 上.

(1)、求证：平面 $A E C ⊥$ 平面 $P D B$ ；

(2)、当 $P D = \sqrt{2} A B$ ， $E$ 为 $P B$ 的中点时，求直线 $A E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆的中心 $O$ 到直线 $x + y - 2 b = 0$ 的距离为 $5 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 且倾斜角为 $45^{°}$ 的直线 $l$ 和椭圆交于 $A, B$ 两点，对于椭圆 $C$ 上任意一点 $M$ ，若 $\vec{O M} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，求 $λ μ$ 的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - 2 a x + a$ $(a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的最值；

(2)、设 $g (x) = 2 e^{x} - a x^{2}$ ，若 $h (x) = f (x) - g (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = - 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ ( $t$ 为参数)，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ \sin^{2} θ = 2 a \cos θ (a > 0)$ ，直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点.

(1)、写出直线 $l$ 的极坐标方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $M$ 的直角坐标为 $(- 1, - 2)$ ，若点 $M$ 到 $A, B$ 两点的距离之积是16，求 $a$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 4 | + | x + 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 6$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) \geq a^{2} + 2 a$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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