陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期理数高考模拟检测试卷(一)

试卷更新日期：2021-02-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} \leq 1}$ ， $B = {x | 3^{x} < 1}$ ，则 $A \cup (C_{R} B) =$ （）

A、 ${x | x < 0}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ C、 ${x | - 1 \leq x < 0}$ D、 ${x | x \geq - 1}$

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2. 已知复数 $z_{1} = 2 + i$ ， $z_{2} = - 1 + 2 i$ ，则 $| \frac{z_{1}}{z_{2}} + z_{1} |$ 为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 2)$ ， $\vec{c} = (1 ， m)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $| \vec{c} | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4. 很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”，“64片金片在三根金针上移动的寓言”)都涉及 $2^{64}$ 这个数.请你估算这个数 $2^{64}$ 大致所在的范围是（）(参考数据： $\lg 2 = 0.30$ ， $\lg 3 = 0.48$ )

A、 $(10^{12} ， 10^{13})$ B、 $(10^{19} ， 10^{20})$ C、 $(10^{20} ， 10^{21})$ D、 $(10^{30} ， 10^{31})$

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5. 为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方图.已知立定跳远 $200 cm$ 以上成绩为及格， $255 cm$ 以上成绩为优秀，根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是（）

A、 $87 % ， 3 %$ B、 $80 % ， 3 %$ C、 $87 % ， 6%$ D、 $80 % ， 6%$

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6. 某几何体的三视图均为如图所示的五个边长为单位1的小正方形构成，则该几何体与其外接球的表面积分别为（）

A、 $18 ， 3 π$ B、 $20 ， 3 π$ C、 $30 ， 11 π$ D、 $32 ， 11 π$

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7. 过点 $P (x ， y)$ 作圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 的切线，切点分别为 $A$ ､ $B$ ，若 $| P A | = | P B |$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、8

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线 $C$ 的渐近线在第四象限交点为 $P$ ， $P F_{1}$ 交双曲线左支于 $Q$ ，若 $2 \vec{F_{1} Q} = \vec{Q P}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10} + 1}{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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9. 若 $\sin (\frac{π}{3} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\frac{π}{3} - 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{7}{9}$

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10. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - 3 y + 6 ⩾ 0 \\ x + 2 y ⩾ 4 \\ 4 x + y ⩽ a \end{array}$ ，且 $z = 3 x - y$ 的最大值为 $12$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a ⩾ 4$ B、 $a ⩾ 16$ C、 $a = 12$ D、 $a = 16$

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11. 已知直线 $y = k x (k > 0)$ 和曲线 $f (x) = x - a \ln x (a \neq 0)$ 相切，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， e)$ B、 $(0 ， e)$ C、 $(0 ， 1) \cup (1 ， e)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， e)$

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12. 设 $1 < a < 2$ ， $m = \log_{4} (2^{a} + 3^{a})$ ， $n = \log_{5} (3^{m} + 4^{m})$ ，则（）

A、 $n = 2$ B、 $n > 2$ C、 $n < 2$ D、以上均有可能

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二、填空题

13. 某“2020年宝鸡市防震减灾科普示范学校”组织4名男生6名女生志愿者到社区进行防震减灾图片宣讲，若这些选派学生只考虑性别，则派往甲社区宣讲的3人中至少有2个男生概率为.

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14. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.设 $S_{3} = 6$ ， $S_{4} = a_{1} - 3$ ，则 $S_{6} =$ .

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15. 沿正三角形 $A B C$ 的中线 $A D$ 翻折，使点 $B$ 与点 $C$ 间的距离为 $\sqrt{3}$ ，若该正三角形边长为 $2$ ，则四面体 $A B C D$ 外接球表面积为.

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16. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 上的奇函数，且对任意 $x \in R$ ，都有 $f (2 - x) = f (x)$ 成立，当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时， $f (x) = \frac{a - 2^{x}}{1 + 2^{x}}$ ，则 $a =$ .当 $x \in [1 ， 3]$ 时， $f (x) =$ .

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三、解答题

17. 设函数 $f (x) = 12 \cos^{2} x - 4 \sqrt{3} \sin x \cos x - 5$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和值域.

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 的对边长分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ .若 $f (A) = - 5$ ， $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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18. 如图三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $A A_{1}$ 的中点， $C E ⊥ F B_{1}$ ， $A B = \sqrt{2} A A_{1} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} E B_{1}$ .

(1)、证明： $E F ⊥$ 平面 $C E B_{1}$ .

(2)、求二面角 $E - C F - B_{1}$ 的平面角大小.

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19. 自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国2020年4月9日-12月14日每隔25天统计1次共11次累计确诊人数(万).

日期(月/日)		4/09		5/04		5/29		6/23		7/18	8/13
统计时间顺序 $x$		1		2		3		4		5	6
累计确诊人数 $y$		43.3		118.8		179.4		238.8		377.0	536.0
日期(月/日)	9/06		10/01		10/26		11/19		11/14
统计时间顺序 $x$	7		8		9		10		11
累计确诊人数 $y$	646.0		744.7		888.9		1187.4		1673.7

(1)、将4月9日作为第1次统计，若将统计时间顺序作为变量

x

，每次累计确诊人数作为变量

y

，得到函数关系

y = a e^{b x}

(a ， b > 0)

﹒对上表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的值

y = 603.09

，

\frac{1}{11} \sum_{i = 1}^{11} \ln y_{i} = 5.98

，

\sum_{i = 1}^{11} (x_{i} - x) (y_{i} - y) = 15835.70 ， \sum_{i = 1}^{11} (x_{i} - x) (\ln y_{i} - \bar{\ln y}) = 35.10

，

\sum_{i = 1}^{11} {(x_{i} - x)}^{2} = 110

，

\sum_{i = 1}^{11} {(\ln y_{i} - \bar{\ln y})}^{2} = 11.90

，

e^{4.06} \approx 57.97

，

e^{4.07} \approx 58.56

，

e^{4.08} \approx 59.15

.根据相关数据，确定该函数关系式(函数的参数精确到

0.01

(2)、经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒.如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次36人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为

X

，求

X = k

最有可能(即概率最大)的值是多少.

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l ： y = 2 x + a$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、若 $a = - 1$ ，求 $△ F A B$ 的面积.

(2)、已知圆 $M ： {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ ，过点P（4，4）作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点分别为D，E，求证直线DE也与圆M相切.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} - x$ ， $(b \in R)$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 单调性.

(2)、 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导数， $g (x) = f (x) - f^{'} (x)$ ，求证函数 $g (x)$ 存在三个零点.

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22. 以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ ， $0 ⩽ θ ⩽ \frac{π}{2}$ ，曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t + \frac{2}{t} - 1 \\ y = t - \frac{2}{t} + 1 \end{array}$ ( $t$ 的参数).

(1)、将曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程､ $C_{2}$ 的参数方程化为普通方程.

(2)、设 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的交点为 $P$ ，求圆心在极轴上，且经过极点和 $P$ 的圆的极坐标方程.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + 2 | x - a |$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的最小值.

(2)、若函数在区间 $[- 1 ， 1]$ 上递减，求 $a$ 的取值范围.

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