重庆市璧山区八校2021届九年级上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-02-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）.

A、 B、 C、 D、

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2. 下列方程中是关于 $x$ 的一元二次方程的是（）

A、 $x + 3 = 5$ B、 $2 x - 3 y = 4$ C、 $\frac{4 - x}{x} = 5$ D、 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$

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3. 将抛物线 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} - 2$ 向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（）

A、 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 1$ B、 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} - 5$ C、 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} - 5$ D、 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} + 1$

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4. 若点A的坐标为（ $6 ， 3$ ），则点A关于原点的对称点A′的坐标为（）

A、（ $3 ， - 6$ ） B、（ $- 3 ， 6$ ） C、（ $- 3 ， - 6$ ） D、（ $- 6 ， - 3$ ）

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5. 如图，AB是⊙O的直径， $\overset{⌢}{B D} = \overset{⌢}{C D}$ ， $∠ B O D = 60^{°}$ ，则 $∠ A O C$ ＝（）

A、30° B、45° C、60° D、以上都不正确

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6. 原价为100元的某商品经过两次降价后，现售价80元，如果每次降价的百分比都为x，则下列各式正确的是（）

A、 $100 (1 - 2 x) = 80$ B、 $100 {(1 - x)}^{2} = 80$ C、 $80 (1 + 2 x) = 100$ D、 $80 {(1 + x)}^{2} = 100$

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7. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > 2$ B、 $k \geq 2$ C、 $k < 1$ D、 $k \leq 1$

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8. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD为底边上的高，BC=6，AC=5，以A为圆心，AD为半径作⊙A，则点C与⊙A的位置关系是（）

A、点C在⊙A内 B、点C在⊙A上 C、点C在⊙A外 D、不能确定

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9. 如图，CD是圆O的直径，AB是圆O的弦，且CD＝10，AB=8，若 $C D ⊥ A B$ 于点E，则OE的长为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10. 已知一次函数 $y = a x + c$ 与 $y = a x^{2} + b x + c$ ，它们在同一坐标系内的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，下列结论：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③m为任意实数，则 $a + b > a m^{2} + b m$ ；④ $a - b + c > 0$ ；⑤若 $a x_{1}^{2} + b x_{1} = a x_{2}^{2} + b x_{2} ，$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 2$ .其中正确的有（）

A、①④ B、③④ C、②⑤ D、②③⑤

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12. 有五张分别标有数字-3，-1，0，1，2的卡片，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记该张卡片上的数字为k,则使分式方程 $\frac{x}{x - 1} - 2 = \frac{k}{1 - x}$ 有正数解，且使以 $x$ 为自变量的二次函数 $y = x^{2} - (k^{2} + 1) x - k + 2$ 的图象不经过点 $(1, 0)$ ，则这5个数中满足条件的 $k$ 的值的和是（）

A、－1 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 方程 $x^{2} = 1$ 的解为.

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14. 二次函数y＝2（x﹣5）²+3的顶点坐标是.

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15. 如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是°．

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16. 如图，在宽为4m、长为6m的矩形绿地铺设两条同样宽的小路，余下部分种植小草.若小路的面积9m² ，则铺设的小路的宽应为m.

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17. 已知（-3，y₁），（-2，y₂），（1，y₃）是抛物线 $y = 3 x^{2} + 12 x + m$ 上的点，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系为.

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18. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝4， $∠ B C A = 60 °$ ，直线AD⊥BC，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转 $60^{°}$ 得到FC，连接DF，则点E运动过程中，DF的最小值是.

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三、解答题

19. 用适当的方法解方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ；

(2)、 $2 x (x - 1) = x - 1$ .

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20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣1）、B（﹣3，3）、C（﹣4，1）

(1)、画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁ ，并写出点B的对应点B₁的坐标；

(2)、画出△ABC绕点A按顺时针旋转90°后的△AB₂C₂ ，并写出点C的对应点C₂的坐标．

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21. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，C是 $⊙ O$ 上一点， $D$ 在 $A B$ 的延长线上，且 $∠ B C D = ∠ A$ .

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径是 $3$ ， $C D = 4$ ，求 $B D$ 的长.

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22. 若一个三位数t＝ $a b c$ （其中a、b、c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为T（t）.例如，539的差数T（539）＝953﹣359＝594.

(1)、根据以上方法求出T（268）＝， T（513）＝；

(2)、已知三位数 $a 1 b$ （其中a＞b＞1）的差数T（ $a 1 b$ ）＝495，且各数位上的数字之和为3的倍数，求所有符合条件的三位数的值.

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23. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象.同时，我们也学习了绝对值的意义 $| a | = {\begin{array}{l} a (a \geq 0) \\ - a (a < 0) \end{array}$ .结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数 $y = | k x - 3 | + b$ 中，当 $x = 2$ 时， $y = - 4 ；$ 当 $x = 0$ 时， $y = - 1.$

(1)、求这个函数的表达式；

(2)、在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象井并写出这个函数的一条性质；

(3)、已知函 $y = \frac{1}{2} x - 3$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $| k x - 3 | + b \leq \frac{1}{2} x - 3$ 的解集.

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24. 新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人体中发现的新型冠状病毒.市民出于防疫的需求，持续抢购防护用品.某药店口罩每袋售价20元，医用酒精每瓶售价15元.

(1)、该药店第一周口罩的销售袋数比医用酒精的销售瓶数多100，且第一周这两种防护用品的总销售额为9000元，求该药店第一周销售口罩多少袋？

(2)、由于疫情紧张，该药店为了帮助大家共渡难关，第二周口罩售价降低了 $\frac{1}{2} a %$ ，销量比第一周增加了 $2 a %$ ，医用酒精的售价保持不变，销量比第一周增加了 $a %$ ，结果口罩和医用酒精第二周的总销售额比第一周增加了 $\frac{6}{5} a %$ ，求 $a$ 的值.

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25. 如图：抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0) ， C (0 ， 3)$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 为抛物线第二象限上的一动点，求 $Δ P B Q$ 面积的最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标；

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在点 $M$ ，使得 $Δ B C M$ 为直角三角形？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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26. 旋转变换在平面几何中有着广泛的应用.特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转交换等知识，解决下面的问题.
如图1， $△ A B C$ 与 $△ D C E$ 均为等腰直角三角形， $D C$ 与 $A B$ 交于点 $M$ ， $C E$ 与 $A B$ 交于点 $N$ .

(1)、以点 $C$ 为中心，将 $△ A C M$ 逆时针旋转90°，画出旋转后的 $△ A^{'} C M^{'}$ ，并证明 $A M^{2} + B N^{2} = M N^{2}$ .

(2)、如图2，在四边形ABCD中， $∠ B A D = 45 °$ ， $∠ B C D = 90 °$ ，AC平分 $∠ B C D$ ，若 $B C = 4$ ， $C D = 3$ ，则对角线 $A C$ 的长度为多少？

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