江苏省南通市如皋市2021届九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-02-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = x^{2}$ 的顶点坐标为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(1 ， 0)$ D、 $(0 ， 0)$

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2. 与点 $(2 ， - 3)$ 在同一反比例函数图象上的点是（）

A、 $(- 1.5 ， 4)$ B、 $(- 1 ， - 6)$ C、 $(6 ， 1)$ D、 $(- 2 ， - 3)$

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3. 一个圆锥的底面半径为 $3 c m$ ，母线长为 $5 c m$ ，这个圆锥的侧面积为（）

A、 $12 π c m^{2}$ B、 $15 π c m^{2}$ C、 $3 \sqrt{34} π c m^{2}$ D、 $20 π c m^{2}$

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4. 将抛物线 $y = 3 x^{2}$ 平移得到抛物线 $y = 3 {(x - 4)}^{2} - 1$ 的步骤可以是（）

A、向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B、向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C、向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D、向右平移4个单位，再向下平移1个单位

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5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）

A、40° B、50° C、80° D、100°

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6. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = \frac{3}{x}$ $(x > 0)$ 与 $y = x - 1$ 的图象交于点 $P (a ， b)$ ，则代数式 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 如图， $⊙ P$ 与 $y$ 轴交于点 $M (0 ， - 4)$ ， $N (0 ， - 10)$ ，圆心 $P$ 的横坐标为 $- 4$ ，则 $⊙ P$ 的半径为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 如图，已知在平面直角坐标系中， $R t △ A B C$ 的顶点 $A (0 ， 3)$ ， $B (3 ， 0)$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $C$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{26}$

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9. 已知 $A (1 ， - 2)$ ， $B (4 ， 0)$ ，若抛物线 $y = - {(x - h)}^{2} + 1$ 与线段 $A B$ 恰有两个交点，则 $h$ 的取值范围为（）

A、 $1 - \sqrt{3} \leq h \leq 1 + \sqrt{3}$ B、 $1 - \sqrt{3} \leq h \leq 3$ C、 $1 + \sqrt{3} \leq h \leq 3$ D、 $1 + \sqrt{3} \leq h \leq 5$

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10. 如图， $△ A B C$ 的顶点 $A$ 是 $⊙ O$ 上的一个动点， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，边 $A C$ ， $A B$ 分别交 $⊙ O$ 于点 $E$ ， $D$ ，分别过点 $E$ ， $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交于点 $F$ ，且点 $F$ 恰好在边 $B C$ 上，连接 $O C$ ，若 $⊙ O$ 的半径为 $6$ ，则 $O C$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{39} + \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{10} + \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{5} + \sqrt{3}$ D、 $5 \sqrt{3}$

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二、填空题

11. 如图，点P是反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （x＜0）图象上一点，PA垂直于y 轴，垂足为A，PB垂直于x轴，垂足为点B，若矩形 PBOA的面积为6，则k的值为.

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12. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C ， D$ 为 $⊙ O$ 上的点，若 $∠ C A B = 20 °$ ，则 $∠ D$ = .

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13. 过点 $(0 ， 2)$ ， $(2 ， 2)$ ， $(- 2 ， - 1)$ 的二次函数图象开口向（填“上”或“下”）

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14. 如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为 $\frac{3}{2} π$ ，则半圆的半径OA的长为．

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15. 二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 1$ 在3≤ $x$ ≤5范围内的最小值为.

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16. 据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为尺．（结果用最简根式表示）

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17. 调查显示，某商场一款运动鞋的售价是销量的反比例函数（调查获得的部分数据如下表）.

售价 $x$ （元/双）

200

240

250

400

销售量 $y$ （双）

30

25

24

15

已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为元.

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18. 定义：在平面直角坐标系中，若点 $A$ 满足横、纵坐标都为整数，则把点 $A$ 叫做“整点”.如： $B (3 ， 0)$ 、 $C (- 1 ， 3)$ 都是“整点”.抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x + a - 2 (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ， $N$ 两点，若该抛物线在 $M$ 、 $N$ 之间的部分与线段 $M N$ 所围的区域（包括边界）恰有 $5$ 个整点，则 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

19. 如图， $⊙ O$ 的直径 $A B$ 和弦 $C D$ 相交于点 $E$ ， $A E = 1 c m$ ， $⊙ O$ 的半径为 $3 c m$ ， $∠ D E B = 60 °$ ，求 $C D$ 的长.

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20. 如图，已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于点 $A (3 ， a)$ ，点 $B (14 - 2 a ， 2)$ ．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、若一次函数图象与y轴交于点C ，点D为点C关于原点O的对称点，求 $△ A C D$ 的面积．

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21. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦， $O P ⊥ O A$ 交 $A B$ 于点 $P$ ，过点 $B$ 的切线交 $O P$ 于点 $C$ .

(1)、求证： $△ P B C$ 是等腰三角形；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{5}$ ， $O P = 1$ ，求 $B C$ 的长.

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22. 小明和小丽先后从A地出发同一直道去B地，设小丽出发第 $x \min$ 时，小丽、小明离B地的距离分别为 $y {}_{1}m$ 、 $y {}_{2}m$ ， $y_{1}$ 与x之间的数表达式 $y_{1} = - 180 x + 2250$ ， $y_{2}$ 与x之间的函数表达式是 $y_{2} = - 10 x^{2} - 100 x + 2000$ .

(1)、小丽出发时，小明离A地的距离为 $m$ .

(2)、小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？

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23.

(1)、如图1，四边形 $A B Q P$ 内接于 $⊙ O$ ， $A P = B Q$ .求证 $P Q // A B$ .

(2)、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $A$ 在以 $B C$ 为直径的半圆内，请你用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹），

①在图2中，作弦 $E F$ ，使 $E F // B C$ ；

②在图3中，以 $B C$ 为边作一个 $45 °$ 的圆周角.

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24. 定义： $y^{2} = a x$ 叫做函数 $y = a x^{2}$ 的“反函数”.比如 $y^{2} = x$ 就是 $y = x^{2}$ 的“反函数”.数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数 $y = a x^{2}$ （ $a \neq 0$ 的常数），若点 $(m ， n)$ 在函数 $y = a x^{2}$ 的图象上，则点 $(- m ， n)$ 也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于 $y$ 轴对称.

根据上面的定义和提示，解答下列问题：

(1)、 $y^{2} = x$ 的图象的对称轴是；

(2)、①直接写出函数 $y = 2 x^{2}$ 的“反函数”的表达式为；
②在如图所示的平面直角坐标系中画出 $y = 2 x^{2}$ 的“反函数”的大致图象；

(3)、若直线 $y = k x - 4 k (k \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，与 $y = 2 x^{2}$ 的“反函数”图象交于 $C$ 、 $D$ 两点（点 $C$ 的横坐标小于点 $D$ 的横坐标），过点 $D$ 作 $D E ⊥ x$ 轴，垂足为点 $E$ ，若 $△ A O B ≅ △ A E D$ ，求 $k$ 的值.

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25. 如图，直线 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ， $O$ 为垂足.以 $O$ 圆心， $\sqrt{3}$ 的半径作圆，交 $l_{1}$ 于点 $M$ ， $N$ ，交 $l_{2}$ 于点 $P$ ， $Q$ .在 $⊙ O$ 上任取一点 $A$ ，作 $△ A B C$ ，使 $∠ A = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 按顺时针方向分布，点 $C$ 落在射线 $O N$ 上，且不在 $⊙ O$ 内.若 $△ A B C$ 的某一边所在直线与 $⊙ O$ 相切，我们称该边为 $⊙ O$ 的“相伴切边”.

(1)、如图1， $C A$ 为 $⊙ O$ 的“相伴切边”， $C A$ 平分 $∠ O C B$ .求 $O C$ 的长；

(2)、是否存在 $△ A B C$ 三边中两边都是 $⊙ O$ 的“相伴切边”的情形？若存在，请求出 $A C$ 的长；若不存在，请说明理由.

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26. 已知点 $M$ 为二次函数 $y = - x^{2} + 2 (b + 1) x - b^{2} + 2 b + 4$ 图象的顶点，直线 $y = m x + 5$ 分别交 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴于点 $A$ ， $B$ .

(1)、判断顶点 $M$ 是否在直线 $y = 4 x + 1$ 上，并说明理由.

(2)、如图1，二次函数图象与直线相交于 $C$ ， $D$ 两点，若 $- x^{2} + 2 (b + 1) x - b^{2} + 2 b + 4 > m x + 5$ 时， $\frac{1}{2} < x < 2$ ，求 $M$ 点的坐标；

(3)、如图2，点 $A$ 坐标为 $(5 ， 0)$ ，点 $M$ 在 $△ A O B$ 内，若点 $(\frac{1}{3} ， y_{1})$ ， $(\frac{1}{2} ， y_{2})$ 都在二次函数图象上，请直接写出 $b$ 的取值范围，并结合 $b$ 的取值范围确定 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 大小关系.

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售价 $x$ （元/双）	200	240	250	400
销售量 $y$ （双）	30	25	24	15