湖北省武汉市东湖新技术开发区2021届九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-02-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 方程 $4 x^{2} + 5 x = 81$ 化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是（）

A、4，5 B、4，-5 C、4，81 D、4，-81

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2. 下列汉字或字母中，不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 抛物线 $y = - 2 x^{2} + 8 x - 8$ 的对称轴是（）

A、 $x = 2$ B、 $x = - 2$ C、 $x = 4$ D、 $x = - 4$

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4. 不解方程，判断方程 $3 x^{2} - 6 x - 2 = 0$ 的根的情况是（）

A、无实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、以上说法都不正确

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5. 抛物线 $y = - 5 {(x + 2)}^{2} - 6$ 可由 $y = - 5 x^{2}$ 如何平移得到（）

A、先向右平移2个单位，再向下平移6个单位 B、先向右平移2个单位，再向上平移6个单位 C、先向左平移2个单位，再向下平移6个单位 D、先向左平移2个单位，再向上平移6个单位

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6. 已知点 $A (a, 1)$ 与 $B (5, b)$ 关于原点对称，则 $a, b$ 的值分别为（）

A、 $a = 5$ ， $b = 1$ B、 $a = 5$ ， $b = - 1$ C、 $a = - 5$ ， $b = 1$ D、 $a = - 5$ ， $b = - 1$

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7. 某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）

A、 $\frac{x (x - 1)}{2} = 1980$ B、x（x+1）=1980 C、2x（x+1）=1980 D、x（x-1）=1980

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8. 已第二次函数 $y = - 2 a x^{2} + a x - 4 (a > 0)$ 图象上三点 $A (- 1, y_{1})$ 、 $B (1, y_{2})$ 、 $C (2, y_{3})$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ B、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ D、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$

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9. 如图， $A D$ 是圆 $O$ 的直径， $B C$ 是弦，四边形 $O B C D$ 是平行四边形， $A C$ 与 $O B$ 相交于点 $P$ ，下列结论错误的是（）

A、 $A P = 2 O P$ B、 $C D = 2 O P$ C、 $O B ⊥ A C$ D、 $A C$ 平分 $O B$

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10. 已知抛物线y＝ax²＋bx＋c（a＜0）的对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点为(2，0).若关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

11. 已知4是方程x²﹣c＝0的一个根，则方程的另一个根是.

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12. 抛物线 $y = - 3 {(x - 2)}^{2} - 2$ 的顶点坐标为.

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13. 要为一幅长 $29 c m$ ，宽 $22 c m$ 的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，设相框边的宽度为 $x$ ，则可列出关于 $x$ 的一元二次方程.

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14. 如图，将 $Δ A B C$ 绕顶点 $C$ 逆时针旋转角度 $α$ 得到 $Δ A^{'} B^{'} C$ ，且点 $B$ 刚好落在 $A^{'} B^{'}$ 上.若 $∠ A = 34 °$ ， $∠ B C A^{'} = 42 °$ ，则 $α =$ $°$ .

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15. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为常数， $a \neq 0$ ）中的 $x$ 与 $y$ 的部分对应值如下表：

$x$

-1

0

3

$y$

$n$

3

3

当 $n < 0$ 时，下列结论中一定正确的是.（填序号即可）

① $a b c < 0$ ；②若点 $C (- 2, y_{1})$ ， $D (π, y_{2})$ 在该拋物线上，则 $y_{1} < y_{2}$ ；③ $n < 4 a$ ；④对于任意实数 $t$ ，总有 $4 (a t^{2} + b t) \leq 9 a + 6 b$ .

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16. 定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C$ ， $A D = 2 \sqrt{5}$ ， $C D = 5$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，则线段 $B D =$ .

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三、解答题

17. 解方程 $x^{2} - 4 x - 7 = 0$

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18. $a, b$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x - 15 = 0$ 的两个实数根，求代数式 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ， $a^{2} b + a b^{2}$ 的值.

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19. 如图，△ABD、△ACE都是等边三角形．求证：BE=DC．

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20. 如图，在 $9 \times 7$ 网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点， $A ， B ， C ， E ， F$ 均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图.

(1)、将 $Δ A B C$ 绕点 $O$ 旋转 $180 °$ 得到 $Δ B A D$ ，请画出点 $O$ 和 $Δ B A D$ ；

(2)、将格点线段 $E F$ 平移至格点线段 $M N$ （点 $E ， F$ 的对应点分别为 $M ， N$ ），使得 $M N$ 平分四边形 $A B C D$ 的面积，请画出线段 $M N$ ；

(3)、在线段 $A D$ 上找一点 $P$ ，使得 $∠ A O P = ∠ B O D$ ，请画出点 $P$ .

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21. 如图， $⊙ O$ 的直径 $A B$ 为10，弦 $B C$ 为6， $D$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，弦 $B D$ 和 $C E$ 交于点 $F$ ，且 $D F = D C$ .

(1)、求证： $E B = E F$ ；

(2)、求 $C E$ 的长.

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22. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，某公司在某网络平台上进行直播销售板栗.已知板栗的成本价格为6元/ $k g$ ，每日销售量 $y (k g)$ 与销售单价 $x$ （元/ $k g$ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据.经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/ $k g$ .设公司销售板栗的日获利为 $w$ （元）.

$x$ （元/ $k g$ ）

7

8

9

$y (k g)$

4300

4200

4100

(1)、请求出日销售量 $y$ 与销售单价 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利 $w$ 最大？最大利润为多少元？

(3)、当销售单价在什么范围内时，日获利 $w$ 不低于42000元？

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23. 如图1， $Δ A B C$ 中， $C A = C B$ ， $∠ A C B = α$ ， $D$ 为 $Δ A B C$ 内一点，将 $Δ C A D$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转角 $α$ 得到 $Δ C B E$ ，点 $A ， D$ 的对应点分别为点 $B ， E$ ，且 $A ， D ， E$ 三点在同一直线上.

(1)、填空： $∠ C D E =$ （用含 $α$ 的代数式表示）；

(2)、如图2，若 $α = 60 °$ ，请补全图形，再过点 $C$ 作 $C F ⊥ A E$ 于点 $F$ ，然后探究线段 $C F$ ， $A E$ ， $B E$ 之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)、如图3，若 $α = 90 °$ ， $A C = 5 \sqrt{2}$ ，直接写出四边形 $A B E C$ 面积的最大值.

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24. 如图1，抛物线 $G$ ： $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 经过点 $B (6 ， 0)$ ，顶点为 $A$ ，对称轴为直线 $x = 2$ .

(1)、求抛物线 $G$ 的解析式；

(2)、若点 $C$ 为直线 $A B$ 上方的抛物线上的动点，当 $Δ A B C$ 面积最大时，求 $C$ 点的坐标；

(3)、如图2，将抛物线 $G$ 向左平移至顶点在 $y$ 轴上，平移后的抛物线 $G^{'}$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ 、 $F$ ，平行于 $x$ 轴的直线 $l$ 经过点 $(0 ， 8)$ ，若点 $P$ 为 $x$ 轴上方的抛物线 $G^{'}$ 上的动点，分别连接 $E P$ 、 $F P$ ，并延长交直线 $l$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，若 $M$ 、 $N$ 两点的横坐标分别为 $m$ 、 $n$ ，试探究 $m$ 、 $n$ 之间的数量关系.

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$x$	-1	0	3
$y$	$n$	3	3

$x$ （元/ $k g$ ）	7	8	9
$y (k g)$	4300	4200	4100