吉林省长春市南关区2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-02-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\sqrt{{(- 3)}^{2}}$ 等于（）

A、3 B、-3 C、±3 D、9

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2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{20}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{24}$ D、 $\sqrt{0.2}$

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3. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x = 4$ 的一次项系数和常数项分别是（）

A、-3，-4 B、-3，4 C、3，-4 D、1，4

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4. 若用配方法解方程 $4 x^{2} + 12 x = 1$ ，通常要在此方程两边同时加上一个“适当”的数，则下面变形恰当的是（）

A、 $4 x^{2} + 12 x + {(\frac{12}{2})}^{2} = 1 + {(\frac{12}{2})}^{2}$ B、 $4 x^{2} + 12 x + 12^{2} = 1 + 12^{2}$ C、 $4 x^{2} + 12 x + 9 = 1 + 9$ D、 $4 x^{2} + 12 x + 12 = 1 + 12$

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5. 若 $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{a}{a - b}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2} .$ D、3.

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6. 如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚 $A D$ 和 $B C$ 交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使 $O A = 3 O D$ ， $O B = 3 O C$ ），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段I的两个端点上．若 $A B = 12 c m$ ，则 $C D$ 的长是（）

A、 $3 cm$ B、 $4 cm$ C、 $6 cm$ D、 $8 cm$

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7. 如图， $l_{1} // l_{2} // l_{3}$ ，直线 $A C$ 、 $D F$ 与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若 $A B = 4$ ， $D E = 3$ ， $E F = 6$ ，则 $A C$ 的长是（）

A、4 B、6 C、8 D、12

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8. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E在 $A B$ 边上， $A F ⊥ D E$ 于点G，交 $B C$ 于点F.若 $A E = 15$ ， $B E = 5$ ，则 $△ A E G$ 的面积与四边形 $B F G E$ 的面积之比是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{9}{16}$

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二、填空题

9. 若二次根式 $\sqrt{x + 3}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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10. 化简 $\sqrt{\frac{5}{6}}$ 的结果是．

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11. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，若 $a c < 0$ ，则它的根的情况是．

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12. 在如图所示的平面直角坐标系中有 $△ O A B$ ，点A、B的坐标分别为 $(1 ， 2)$ 、 $(3 ， 1)$ ，以原点O为位似中心将 $△ O A B$ 进行放缩，若放缩后点A的对应点坐标为 $(2 ， 4)$ ，则点B的对应点坐标为．

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13. 如图，点E为矩形 $A B C D$ 的 $A B$ 边上一点，以 $E C$ 为折痕将 $△ B E C$ 向上折叠，点B恰好落在 $A D$ 边上的点F处，若 $A E = 3$ ， $E B = 5$ ，则 $B C$ 的长是．

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14. 若在实数范围内存在k的值，使关于x的一元二次方程 $(m + 1) x^{2} + (k - 3) x + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则实数m的取值范围是．

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三、解答题

15. 计算： $(\sqrt{12} + 2 \sqrt{8} - \frac{\sqrt{28}}{\sqrt{14}}) \times \sqrt{3}$

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16. 解方程： $x^{2} + 8 x - 2 = 0$

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17. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．

(1)、在图①中以线段 $A D$ 为边画一个三角形，使它与 $△ A B C$ 相似．

(2)、在图②中画一个三角形，使它与 $△ A B C$ 相似（不全等）．

(3)、在图③中的线段 $A B$ 上画一个点P，使 $\frac{A P}{P B} = \frac{2}{3}$ ．

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18. 如图，课外活动小组为了测量位于朝阳公园内的吉林电视塔的高度 $A B$ ，在距塔底部B点130米的C处，用高1.2米的测角仪 $D C$ 测得塔顶端A的仰角a为 $59 °$ 求塔的高度 $A B$ ．（结果精确到个位）（参考数据 $\sin 59 ° = 0.86$ ， $\cos 59 ° = 0.52$ ， $\tan 59 ° = 1.67$ ）

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点D， $A D = 6$ ， $B C = 12$ ，点E、F分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上，点G、H在边 $B C$ 上且四边形 $E F G H$ 是正方形．

(1)、求正方形 $E F G H$ 的边长．

(2)、当 $△ B E H$ 与 $△ F C G$ 相似时，直接写出 $∠ B A C$ 的大小．

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20. 求证：对于任意实数k，关于x的方程 $x^{2} - 2 k x + 2 k^{2} - 2 k + 3 = 0$ 没有实数根．

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21. 小明同学在2018年秋季升入七年级时的身高是 $140 cm$ ，在2020年秋季升入九年级时的身高是 $169.4 c m$ ，求这两年小明身高的年平均增长率．若在未来的一年里小明身高按这个增长率的一半增长，到2021年秋季升入高中一年级时的身高将是多少？（结果精确到个位）

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22. 如图①，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = B C$ ，P是对角线 $B D$ 的中点，M是 $D C$ 的中点，N是 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $∠ P M N = ∠ P N M$ ．

(2)、如图②，在上边题目的条件下，延长上图中的线段 $A D$ 交 $N M$ 的延长线于点E，延长线段 $B C$ 交 $N M$ 的延长线于点F.求证： $∠ A E N = ∠ F$ ．

(3)、若（1）中的 $∠ A + ∠ A B C = 122 °$ ，则 $∠ F$ 的大小为．

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23. 先阅读下面框中方程的求解过程，然后解答问题．
解方程 $\frac{x + 1}{x^{2}} - \frac{2 x^{2}}{x + 1} = 1$ ．

解：设 $\frac{x + 1}{x^{2}} = t$ ，则 $\frac{x^{2}}{x + 1} = \frac{1}{t}$ ，原方程可化为 $t - \frac{2}{t} = 1$ ．

两边同乘以t，化简得， $t^{2} - t ─ 2 = 0$ ．

解这个方程，得 $t_{1} = 2$ ， $t_{2} = - 1$ ．

当 $\frac{x + 1}{x^{2}} = 2$ 时，解得 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - \frac{1}{2}$ ．

当 $\frac{x + 1}{x^{2}} = - 1$ 时，此方程没有实数根．

经检验， $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - \frac{1}{2}$ 是原方程的解．

所以方程 $\frac{x + 1}{x^{2}} - \frac{2 x^{2}}{x + 1} = 1$ 的解为：

$x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - \frac{1}{2}$ ．

(1)、解方程 ${(x^{2} - x)}^{2} - 4 (x^{2} - x) + 3 = 0$ ．

(2)、直接写出方程 $\frac{\sqrt{2 x + 1}}{x} - \frac{2 x}{\sqrt{2 x + 1}} + 1 = 0$ 的解．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点D， $A D = 4$ ， $B D = 3$ ， $D C = 8$ ，点P是 $B C$ 边上一点（不与点B、D、C重合），过点P作 $P Q ⊥ B C$ 交 $A B$ 或 $A C$ 于点Q，作点Q关于直线 $A D$ 的对称点M，连结 $Q M$ ，过点M作 $M N ⊥ B C$ 交直线 $B C$ 于点N．设 $B P = x$ ，矩形 $P Q M N$ 与 $△ A B C$ 重叠部分图形的周长为y．

(1)、直接写出 $P Q$ 的长（用含x的代数式表示）．

(2)、求矩形 $P Q M N$ 成为正方形时x的值．

(3)、求y与x的函数关系式.

(4)、当过点C和点M的直线平分 $△ A D C$ 的面积时，直接写出x的值．

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