云南省西南名校联盟2021届高三上学期理数12月高考适应性月考试卷

试卷更新日期：2021-01-31 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x | \leq 1, x \in Z}$ ，则满足条件B⫋A的集合B的个数为（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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2. 已知函数 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、f（x）的图象恒在x轴上方 B、f（x）的图象经过原点 C、f（x）是R上的减函数 D、f（x）是偶函数

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3. 已知如图的程序框图，则当输出的 $y$ 的值为8时，输入的 $x$ 的值为（）

A、-3，3，-1 B、-1，-3 C、-3 D、-1

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4. 若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 均为单位向量，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{c} = \frac{1}{3} \vec{a} + k \vec{b}$ （k＞0），则k的取值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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5. 已知定义域为R的函数f（x）的导函数图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是（）

A、f（a）＞f（b）＞f（0） B、f（0）＜f（c）＜f（d） C、f（b）＜f（0）＜f（c） D、f（c）＜f（d）＜f（e）

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6. 已知曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{2 λ} + \frac{y^{2}}{3 - λ} = 1$ ，则以下判断错误的是（）

A、 $λ < 0$ 或 $λ > 3$ 时，曲线 $Γ$ 一定表示双曲线 B、 $0 < λ < 3$ 时，曲线 $Γ$ 一定表示椭圆 C、当 $λ = - 3$ 时，曲线 $Γ$ 表示等轴双曲线 D、曲线 $Γ$ 不能表示抛物线

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7. 4名同学准备利用周末时间到敬老院、福利院、儿童医院三地进行志愿者活动，若要求每个地方至少有一名同学，则不同的安排方法共有（）

A、72种 B、64种 C、36种 D、24种

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8. 九连环是我国民间的一种益智玩具，它蕴含着丰富的数学奥秘．假设从套环与套框完全分离的状态出发，需经过a_n步演变，出现只穿有第n环的状态，则a_n_＋1＝2a_n＋1，且a₁＝1．则从套环与套框完全分离的状态到套环均在套框上的状态，总共需要的演变步数为a₈＋1＋a₆＋1＋a₄＋1＋a₂＋1＋1＝（）

A、345 B、344 C、341 D、340

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9. 如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M为棱BC的中点，用平行于体对角线BD₁且过点A，M的平面去截正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，得到的截面的形状是（）

A、平行四边形 B、梯形 C、五边形 D、以上都不对

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10. 已知复数z满足|z|＝1，则|z＋1-2i|的最小值为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、2

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11. 已知函数f（x）＝cosx，若x₁ ， $x_{2} \in (- \frac{π}{4} ， 0) \cup (0 ， \frac{π}{4})$ 时，有 $\frac{f (x_{1})}{x_{2}^{2}} < \frac{f (x_{2})}{x_{1}^{2}}$ ，则（）

A、x₁＞x₂ B、x₁＜x₂ C、 $x_{1}^{2} > x_{2}^{2}$ D、 $x_{1}^{2} < x_{2}^{2}$

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12. 已知在三棱锥P-ABC中，PA＝PB， $△$ ABC为锐角三角形，且点P在平面ABC上的投影O₁为 $△$ ABC的垂心，O₂为 $△$ PAB的重心．若二面角P-AB-C的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，且 $P O_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $P C = 2 \sqrt{3}$ ，则CO₂＝（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、3 D、1

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二、填空题

13. 已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的4倍，设随机变量X为他投篮一次命中的个数，则X的期望是．

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14. 在等差数列{ $a_{n}$ }中， $a_{1} = 10$ ，令 $S_{n}$ 为{ $a_{n}$ }的前 $n$ 项和，若 $S_{10} S_{11}$ ＜0，则使得 $a_{n}$ ＞0成立的最大整数 $n$ 为．

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15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，若其右焦点 $F$ 关于直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 的对称点在双曲线 $C$ 的一条渐近线上，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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16. 在锐角 $△$ ABC中， $\cos A = \frac{4}{5}$ ，若点P为 $△$ ABC的外心，且 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则x＋y的最大值为．

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三、解答题

17. 如图为函数 $f (x) = A s i n ω x$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ）在一个周期内的图象，其中点M是图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且 $O M ⊥ M B$ ，点B为 $(4 ， 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的表达式；

(2)、若将 $y = f (x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 在 $R$ 上的单调减区间．

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18. 2021年《联合国气候变化框架公约》第十五次缔约方会议（COP15）将在云南昆明举行，大会的主题为“生态文明：共建地球生物共同体”．大绒鼠是中国的特有濒危物种，仅分布在湖北、四川、云南等地．某校同学为探究大绒鼠的形态学指标与纬度、海拔和年平均温度的关系，从德钦、香格里拉、丽江、剑川、哀牢山五个采样点收集了50只大绒鼠标本．

参考公式：回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、将五个采样地分别记作A，B，C，D，E，各个采样地所含标本数量占总标本数量的百分比如图甲所示．若先从来自于A，C，D的标本中随机选出两个进行研究，求这两个标本来源于不同采样地的概率；

(2)、为研究大绒鼠体长与纬度的变化关系，收集数据后绘制了如图乙的散点图．由散点图可看出体长y与纬度x存在线性相关关系，请根据下列统计量的值，求出y与x的线性回归方程，并以此估计纬度为30度时，大绒鼠的平均体长．

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{x} \cdot \bar{y}$	${\bar{x}}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}$
27	36	972	729	5008.5	3600

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19. 已知曲线C是顶点为坐标原点O，且开口向右的抛物线，曲线C上一点A（x₀ ， 2）到准线的距离为 $\frac{5}{2}$ ，且焦点到准线的距离小于4．

(1)、求抛物线C的方程与点A的坐标；

(2)、若MN，PQ是过点（1，0）且互相垂直的C的弦，求四边形MPNQ的面积的最小值．

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20. 如图甲，三棱锥 $P - A B D$ ， $Q - B C D$ 均为底面边长为 $2 \sqrt{3}$ 、侧棱长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的正棱锥，且四边形 $A B C D$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形（点 $P ， Q$ 在平面 $A B C D$ 的同侧）， $A C ， B D$ 交于点 $O$ ．

(1)、证明：平面 $P Q O$ ⊥平面 $A B C D$ ；

(2)、如图乙，设 $A P ， C Q$ 的延长线交于点 $M$ ，求二面角 $A - M B - C$ 的余弦值．

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21. 已知 $f (x) = \sqrt{x} (2 - \ln x)$ ，g（x）＝f（x）＋ax-3，其中a∈（0，＋∞）．

(1)、判断f（x）的单调性并求其最值；

(2)、若g（x）存在极大值，求a的取值范围，并证明此时g（x）的极大值小于0．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \cos θ + 1 ， \\ y = \sin θ ， \end{array}$ （ $θ$ 为参数）．若以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $2 ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = 1$ ．

(1)、求出曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若射线 $θ = θ_{1}$ 与曲线 $C$ 、直线 $l$ 分别交于 $A$ ， $B$ 两点，当 $θ_{1} \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ 时，求 $| O A | \cdot | O B |$ 的取值范围．

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23. 已知a＋b＋c＝3．

(1)、若c＝1，且f（x）＝|x-a|＋|x-2b|≥2恒成立，求a的取值范围；

(2)、证明：ab＋bc＋ca≤3．

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