河南省九师联盟2020-2021学年高三上学期理数11月质量检测试卷

试卷更新日期：2021-01-31 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集为R，集合 $A = {x | x < 3, x \in N}$ ， $B = {x | (x - 1) (x - 4) > 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、[1，3) C、 $(- \infty, 1)$ D、{0，1，2}

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2. “ $x > - 3$ ”是“ $2^{x} > \frac{1}{8}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 在流行病学中，基本传染数R₀是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R₀个人，为第一轮传染，这R₀个人中每人再传染R₀个人，为第二轮传染，…….R₀一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数 $R_{0} = 3.8$ ，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1000时需要的天数至少为（）参考数据：lg38≈1.58

A、34 B、35 C、36 D、37

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4. 已知直线AB是平面 $α$ 的斜线，则下列结论成立的是（）

A、 $α$ 内的所有直线都与直线AB异面 B、 $α$ 内的任意一条直线都与直线AB垂直 C、过直线AB存在一个平面与 $α$ 垂直 D、过直线AB存在一个平面与 $α$ 平行

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5. 在长方形ABCD中，AB=2AD，过AD，BC分别作异于平面ABCD的平面 $α$ ， $β$ ，若 $α \cap β = l$ ，则l与BD所成角的正切值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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6. 已知正数x，y满足 $x (y - 1) = 2$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为R的偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x e^{x}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 e x - e$ B、 $y = - 2 e x - e$ C、 $y = 2 e x + e$ D、 $y = - 2 e x + e$

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $P$ 分别是棱 $B C$ ， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，点 $A_{1}$ ， $P$ 到平面 $A E F$ 的距离分别为 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ，则（）

A、 $h_{1} = h_{2}$ B、 $h_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} h_{2}$ C、 $h_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $h_{1} = 2 h_{2}$

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9. 在一次气象调查中，发现某城市的温度y(单位：℃)的波动近似地遵循规律 $y = 25 + 6 \sin \frac{π}{12} t$ ，其中t(单位：h)是从某日9∶00开始计算(即9∶00时，t=0)，且 $t \leq 24$ .现给出下列结论：
①15∶00时，出现最高温度，且最高温度为31℃；②凌晨3∶00时，出现最低温度，且最低温度为19℃；③温度为28℃时的时刻为11∶00；④温度为22℃时的时刻为凌晨7∶00.其中正确的所有序号是（）

A、① B、①② C、①②③ D、①②③④

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10. 定义在R上的函数 $y = f (x)$ 满足 $f (10 - x) = f (x)$ ， $(x - 5) f^{'} (x) > 0 (x \neq 5)$ ，若 $f (- 1) f (1) < 0$ ，则函数 $f (x)$ 在区间(9，11)内（）

A、没有零点 B、可能有无数个零点 C、至少有2个零点 D、有且仅有1个零点

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11. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有顶点都在球O的表面上，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是正三角形， $A B_{1}$ 与底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成的角是45°.若正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积是 $2 \sqrt{3}$ ，则球O的表面积是（）

A、 $\frac{28 π}{3}$ B、 $\frac{14 π}{3}$ C、 $\frac{56 π}{3}$ D、 $\frac{7 π}{3}$

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12. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2}$ .定义数列 ${b_{n}}$ 如下： $\frac{m + 1}{m} b_{m} (m \in N^{*})$ 是使不等式 $a_{n} \geq m (m \in N^{*})$ 成立的所有 $n$ 中的最小值，则 $b_{1} + b_{3} + b_{5} + \dots + b_{19} =$ （）

A、25 B、50 C、75 D、100

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二、填空题

13. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 ， \\ x + y - 1 \geq 0 ， \\ x \leq 1 ， \end{array}$ 则 $x + y$ 的最大值为.

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14. 在 $△ A B C$ 中，AB=4，∠ABC=45°，AD是边BC上的高，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A C} =$ .

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15. 北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”他想堆积的酒坛､棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物(如图)，可以用公式 $S = \frac{n}{6} [(2 b + d) a + (b + 2 d) c] + \frac{n}{6} (c - a)$ 求出物体的总数.这就是沈括的“隙积术”.利用“隙积术”求得数列 ${(n + 1) \times (n + 2)}$ 的前n项和是.

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16. 若函数 $y = \ln \frac{x}{2 - x} - a (x - 1)$ 有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (\cos θ ， \sin θ)$ ， $θ \in [0 ， π]$ ，向量 $\vec{b} = (\sqrt{3} ， - 1)$ ．

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $θ$ 的值；．

(2)、若 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | < m$ 对任意 $θ \in [0 ， π]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项的和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} = 3$ ， $S_{10} = 55$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $∠ A C B = \frac{π}{3}$ ， $B C = 2$ ，P是 $△ A B C$ 内一点，且 $∠ B P C = \frac{π}{2}$ .

(1)、若 $∠ A B P = \frac{π}{6}$ ，求线段 $A P$ 的长度；

(2)、若 $∠ A P B = \frac{2 π}{3}$ ，设 $∠ P B A = α$ ，求 $\sin α$ .

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD为正方形，平面 $P A B ⊥$ 平面ABCD， $△ P A B$ 为等腰直角三角形， $P A ⊥ P B$ ，AB=2.

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面PAC；

(2)、设E为CD的中点，求二面角C-PB-E的余弦值.

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21. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 4$ ， $3 a_{n + 2} = 4 a_{n + 1} - a_{n}$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} \geq m^{2} - 2 m$ 对任意正整数n恒成立，求实数m的取值范围.

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22.

(1)、当 $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ 时，求证： $x \geq \sin x$ ；

(2)、若 $e^{x} \geq k x + 1$ 对于任意的 $x \in [0 ， + \infty)$ 恒成立，求实数k的取值范围；

(3)、设a>0，求证；函数 $f (x) = e^{a x - 1} \cdot \cos x$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上存在唯一的极大值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) > e^{- \frac{1}{a}}$ .

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