甘肃省天水市甘谷县2020-2021学年高三上学期理数第四次检测试卷

试卷更新日期：2021-01-31 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知复数z满足z(1+2i)=i，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应点所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {0, 1, 2, 3}$ ， $B = {x \in R | 0 \leq x \leq 2}$ ，则 $A \cap B$ 的子集个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、8

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3. “ $a = \frac{1}{8}$ ”是“对任意的正数 $x$ ， $2 x + \frac{a}{x} \geq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若正数m，n满足2m＋n＝1，则 $\frac{1}{m}$ ＋ $\frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、3＋2 $\sqrt{2}$ B、3＋ $\sqrt{2}$ C、2＋2 $\sqrt{2}$ D、3

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5. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{cases} x - 3 y + 4 \geq 0 \\ 3 x - y - 4 \leq 0 \\ x + y \geq 0 \end{cases}$ ，则z=3x+2y的最大值是（）

A、-1 B、1 C、10 D、12

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6. 函数 $f (x) = e^{x} - x^{2} - 2 x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 $S_{1}$ ，圆面中剩余部分的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）

A、 $(3 - \sqrt{5}) π$ B、 $(\sqrt{5} - 1) π$ C、 $(\sqrt{5} + 1) π$ D、 $(\sqrt{5} - 2) π$

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8. 若函数f(x)= Asin( $ω$ x +φ)(A >0， $ω$ > 0，0<φ <π)的部分图像如图所示，则函数f(x)图像的一条对称轴是（）

A、x= $- \frac{5 π}{6}$ B、x=- $\frac{11 π}{12}$ C、x= $\frac{11 π}{12}$ D、 $\frac{11 π}{6}$

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9. 设向量 $\vec{b} = (0, 1)$ ， $\vec{a} = (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = 2$ ，则使 $a_{n} < 7$ 成立的 $n$ 的最大值为（）

A、3 B、4 C、24 D、25

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11. 已知函数 $f (x)$ 在定义域上的值不全为零，若函数 $f (x + 1)$ 的图象关于 $(1 ， 0)$ 对称，函数 $f (x + 3)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，则下列式子中错误的是（）

A、 $f (- x) = f (x)$ B、 $f (x - 2) = f (x + 6)$ C、 $f (- 2 + x) + f (- 2 - x) = 0$ D、 $f (3 + x) + f (3 - x) = 0$

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12. 若函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} + \sin x - x$ ，则满足 $f (a - 2 \ln (| x | + 1)) + f (\frac{x^{2}}{2}) \geq 0$ 恒成立的实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[2 \ln 2 - \frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(\ln 2 - \frac{1}{4} ， + \infty)$ C、 $[\frac{7}{4} ， + \infty)$ D、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列，且a₁=3， a₂+a₅= 36，则 ${a_{n}}$ 的通项公式为

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14. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .若 $b = 6, a = 2 c, B = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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15. 在边长为2的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 的中点， $A E$ 交 $B D$ 于 $F$ .若 $\vec{A F} = 2 x \vec{A B} + 3 y \vec{A D}$ ，则 $x + y =$ .

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $b = 1$ ， $\frac{1}{2} \sin B = \cos (B + C) \sin C$ ，则当角 $B$ 取最大值时， $△ A B C$ 的周长为.

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三、解答题

17. 在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB= $- \frac{1}{2}$ ．
（Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）求sin（B–C）的值．

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18. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = - 7$ ， $S_{3} = - 15$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最小值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $3 S_{n} = 1 + 2 a_{n}$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${(2 n - 1) a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$

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20. 在① $(a + b) (a - b) = (a - c) c$ ，② $2 a - c = 2 b \cos C$ ，③ $\sqrt{3} (a - b \cos C) = c \sin B$ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且满足， $b = 2 \sqrt{3} .$

(1)、若 $a + c = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $a + c$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + x + \frac{a}{x} (a \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上为增函数，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $g (x) = x f (x) - (a + 1) x^{2} - x$ 有两个不同的极值点，记作 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $x_{1} x_{2}^{2} > e^{3}$ （ $e$ 为自然对数）.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 t \\ y = 2 + t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ {cos}^{2} θ = 8 sin θ$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点分别为 $M$ ， $N$ ，求 $| M N |$ ．

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