山东省淄博市2021届高三上学期数学教学质量摸底检测（零模)试卷

试卷更新日期：2021-01-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $A = {1 ， 3}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${1 ， 3 ， 4 ， 5}$ B、 ${1 ， 2 ， 4}$ C、 ${2 ， 4}$ D、 $\emptyset$

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2. 复数z满足 $z (1 - i) = 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $- 1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $1 + i$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2}{3} π$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、12

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4. 某校学生的男女人数之比为 $2 ： 3$ ，按照男女比例通过分层随机抽样的方法抽到一个样本，样本中男生每天运动时间的平均值为100分钟、女生为80分钟．结合此数据，估计该校全体学生每天运动时间的平均值为（）

A、98分钟 B、90分钟 C、88分钟 D、85分钟

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5. 若正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 3 y = x y$ ，则 $3 x + 4 y$ 的最小值是（）

A、12 B、15 C、25 D、27

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6. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，且在 $[- 1 ， 0)$ 上有 $f (x) = 4^{x}$ ，则 $f (2020.5) =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、-2 D、 $- \frac{1}{2}$

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7. 在6张奖券中有一等奖奖券1张、二等奖奖券2张、三等奖奖券3张．现有3个人抽奖，每人2张，则不同的获奖情况有（）

A、15 B、18 C、24 D、90

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8. 我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系，声音的强度常用 $I$ （单位：瓦/米 $^{2}$ ，即 $W / m^{2}$ ）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用 $L$ （单位：分贝）表示，它们满足换算公式： $L = 10 \lg \frac{I}{I_{0}}$ （ $L \geq 0$ ，其中 $I_{0} = 1 \times 10^{- 12} W / m^{2}$ 是人平均能听到的声音的最小强度），国家《城市区域噪声标准》中规定白天公共场所不超过60分贝，则要求声音的强度不超过（）

A、 $10^{6} W / m^{2}$ B、 $10^{- 6} W / m^{2}$ C、 $6 \times 10^{- 12} W / m^{2}$ D、 $\frac{1}{6} \times 10^{- 12} W / m^{2}$

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二、多选题

9. 已知 $a ， b \in R$ ，则下列叙述中正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a - | b | > 0$ ，则 $a + b > 0$ C、“ $a > 1$ ”是“ $a^{2} > a$ ”的充分不必要条件 D、命题“ $\forall a \geq 1$ ， $a^{2} - 1 \geq 0$ ”的否定是“ $\exists a < 1$ ， $a^{2} - 1 < 0$ ”

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10. 为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（）

A、样本在区间[500.700]内的频数为18 B、如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减免税政策 C、样本的中位数小于350万元 D、可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表

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11. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图像，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图像关于点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 对称 C、将函数 $f (x)$ 图像上所有的点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ ，则 $g (x)$ 为奇函数 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增

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12. 定义“正对数函数”： $\ln^{+} x = {\begin{array}{l} 0 ， 0 < x < 1 \\ \ln x ， x \geq 1 \end{array}$ ，若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\ln^{+} a \geq \ln a$ B、 $(a - b) (\ln^{+} a - \ln^{+} b) \geq 0$ C、 $\ln^{+} (a b) = \ln^{+} a + \ln^{+} b$ D、 $\ln^{+} (a^{b}) = b \ln^{+} a$

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三、填空题

13. 已知随机变量 $ξ ~ N (1 ， σ^{2})$ ，若 $P (ξ > 3) = 0.3$ ，则 $P (- 1 \leq ξ \leq 1) =$ ．

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14. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\tan α = 3$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{4}) =$ ．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列．若集合 $A = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3}}$ ，集合 $B = {b_{1} ， b_{2} ， b_{3}}$ ，集合 $C = {a ， b ， - 2}$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ），且 $A = B = C$ ，则 $a + b =$ ．

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16. 在二项式 ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中，所有项系数之和为，含 $x^{4}$ 的项的系数是（用数字作答）．

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四、解答题

17. 我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响，为进一步培养中学生对航空航天的兴趣爱好，某学校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作，前五天的报名情况为：第1天3人，第2天6人，第3天10人，第4天13人，第5天18人，通过数据分析已知，报名人数与报名时间具有线性相关关系．

参考公式及数据：回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率的最小二乘估计公式为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

$P (K^{2} \geq k)$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(1)、已知第

x

天的报名人数为

y

，求

y

关于

x

的线性回归方程，并预测第7天的报名人数（结果四舍五入取整数）．

(2)、该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系，随机调查了100名学生，并得到如下

2 \times 2

列联表：

	有兴趣	无兴趣	合计
男生	45	5	50
女生	30	20	50
合计	75	25	100

请根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\frac{\sqrt{3} a}{b \cos C} = \tan C + \tan B$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a + c = \frac{5}{2}$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{2}$ ，求 $b$ 的值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} \cdot a_{5} = 81$ ， $S_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4} - S_{3}$ 成等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若__________，求 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $P_{n}$ ，并求 $P_{n}$ 的最小值．
从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题．

①数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = \frac{1}{2}$ ， $3 b_{n + 1} = \frac{n}{n + 2} \cdot b_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）；

②数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = n^{2}$ （ $n \in N^{*}$ ）；

③数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 满足： $6 T_{n} - b_{n} = 5$ （ $n \in N^{*}$ ）．

注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分．

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ，且 $a ， b ， c \in R$ ）在 $x = 0$ 处取得极值 $- 1$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、判断是否存在实数 $a$ 使得函数 $f (x)$ 的图像与直线 $x - y - 2 = 0$ 相切，若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由．

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21. 某商场在“双十二”进行促销活动，现有甲、乙两个盒子，甲盒中有3红2白共5个小球，乙盒中有1红4白共5个小球，这些小球除颜色外完全相同．有两种活动规则：
规则一：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则还从该盒中摸取一个球，若前一次摸到白球，则从另一个盒中摸取一个球，每摸出1个红球奖励100元，每个顾客只有3次摸球机会（每次摸球都不放回）；

规则二：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则要从甲盒中摸球一个，若前一次摸到白球，则要从乙盒中摸球一个，每摸出1个红球奖励100元，每个顾客只有3次摸球机会（每次摸球都不放回）．

(1)、按照“规则一”，求一名顾客摸球获奖励金额的数学期望；

(2)、请问顾客选择哪种规则进行抽奖更有利，并请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - e$ （ $e$ 是自然对数的底数）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - k \ln x$ 有且仅有两个不同的零点，求实数 $k$ 的取值范围．

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