江西省五市九校协作体2021届高三数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-01-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x + 3 > 0}$ ， $B = {x | x - a \leq 0}$ ，若 $B \cup A = R$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $[3, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, 1]$

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2. 已知复数z满足 $\frac{1 + 2 i}{z} = 1 - i$ （i为虚数单位），则 $\bar{z}$ （ $\bar{z}$ 为z的共轭复数）在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. “ ${(a - 2)}^{3} > {(b - 2)}^{3}$ ”是“ $\lg a > \lg b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{5}{14}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{10}{21}$

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5. 函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，为了得到 $y = \sin ω x$ 的图象，只需把 $y = f (x)$ 的图象上所有点（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个长度单位

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6. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y - 4 \leq 0 \\ x + 2 y - 4 \geq 0 \\ 2 x - y - 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = x + 4 y$ 的最小值为（）

A、26 B、4 C、 $\frac{26}{5}$ D、-26

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7. 蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：

{}^{\circ}C

）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程

\hat{y} = 0.25 x + k

x（次数/分数）	20	30	40	50	60
y（ $^{\circ} C$ ）	25	27.5	29	32.5	36

则当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预报值为（）

A、

33^{\circ} C

B、

34^{\circ} C

C、

35^{\circ} C

D、

{35.5}^{\circ} C

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8. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P是C的右支上一点，连接 $P F_{1}$ 与y轴交于点M，若 $| F_{1} O | = 2 | O M |$ （O为坐标原点）， $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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9. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，对任意两个不相等的正数 $x_{1}, x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，记 $a = \frac{f (3)}{3}$ ， $b = - f (- 1)$ ， $c = - \frac{f (- 2)}{2}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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10. 如图，小方格是边长为1的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球表面积为（）

A、32π B、 $30 \sqrt{2} π$ C、41π D、 $40 \sqrt{3} π$

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11. 设 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，O为坐标原点，点P满足 ${| P A |}^{2} + {| P B |}^{2} \leq 16$ ，若直线 $k x - y + 6 = 0$ 上存在点Q使得 $∠ P Q O = \frac{π}{6}$ ，则实数k的取值范围为（）

A、 $[- 4 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2}]$ B、 $(- \infty, - 4 \sqrt{2}] \cup [4 \sqrt{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, - \frac{\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{5}}{2}, + \infty)$ D、 $[- \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}]$

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12. 已知函数 $f (x) = a x - e^{x}$ 与函数 $g (x) = x \ln x + 1$ 的图像上恰有两对关于 $x$ 轴对称的点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(e - 1 ， + \infty)$ B、 $(\frac{e - 1}{2} ， + \infty)$ C、 $[\frac{e - 1}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， e - 1)$

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二、填空题

13. 在 $▱ A B C D$ 中， $\vec{A D}$ 与 $\vec{D C}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $| \vec{A D} | = 1$ ， $| \vec{D C} | = 2$ ， $\vec{D E} = \vec{E C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{D B} =$

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14. 若正实数 $a,$ $b$ ，满足 $a + b = 1$ ，则 $\frac{b}{3 a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为.

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15. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ （ $n \in N^{*}$ ），则 $C_{5}^{0} a_{1} + C_{5}^{1} a_{2} + C_{5}^{2} a_{3} + C_{5}^{3} a_{4} + C_{5}^{4} a_{5} + C_{5}^{5} a_{6} =$

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E，F，M分别为棱 $A B$ ， $A_{1} D_{1}$ ， $D_{1} C_{1}$ 的中点，过点M与平面 $C E F$ 平行的平面与 $A B$ 交于点N，则四面体 $N C E F$ 的体积为

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a \sin (A + B - C) = c \sin (B + C)$ ．

(1)、求角C的大小

(2)、若 $2 a + b = 8$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 如图，已知四边形 $A B C D$ 为菱形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于O， $∠ B A D = 60 °$ ，平面 $A D E F \cap$ 平面 $B C E F =$ 直线 $E F$ ， $F O ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B C = C E = D E = 2 E F = 2$

(1)、求证： $E F // D A$ ；

(2)、求二面角 $A - E F - B$ 的余弦值．

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19. 学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A、B两个靶子进行射击，先向A靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A靶射击，命中的概率是 $\frac{2}{3}$ ；向B靶射击，命中的概率为 $\frac{3}{4}$ ．假设甲同学每次射击结果相互独立．

(1)、求甲同学恰好命中一次的概率；

(2)、求甲同学获得的总分X的分布列及数学期望．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）过点 $E (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 为椭圆的左右顶点，且直线 $A_{1} E$ ， $A_{2} E$ 的斜率的乘积为 $- \frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过右焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，线段 $M N$ 的垂直平分线交直线l于点P，交直线 $x = - 2$ 于点Q，求 $\frac{| P Q |}{| M N |}$ 的最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 4 a x + a \ln x + a + \frac{1}{2}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、记函数 $f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ，若不等式 $f (x) < x f^{'} (x)$ 对任意的实数 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、设函数 $g (x) = f (x) + 2 a$ ， $g^{'} (x)$ 是函数 $g (x)$ 的导函数，若函数 $g (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $g (x_{1}) + g (x_{2}) \geq g^{'} (x_{1} x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，曲线 $C_{2} : {\begin{array}{l} x = 3 + 3 \cos ϕ \\ y = 3 \sin ϕ \end{array}$ （ $ϕ$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求 $C_{1}, C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、射线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = α (ρ \geq 0)$ ，若 $l$ 分别与 $C_{1}, C_{2}$ 交于异于极点的 $A, B$ 两点，求 $\frac{| O B |}{| O A |}$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + m | - 2 | x - 1 |$ ．

(1)、若 $m = 2$ ，求不等式 $f (x) + 3 < 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 的图象与直线 $y = 1$ 有且仅有1个公共点，求 $m$ 的值．

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