贵州省贵阳市四校2021届高三上学期理数第二次联合考试试卷

试卷更新日期：2021-01-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 10 \leq 0}$ ， $B = {x | x = 2^{n}, n \in N}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 1, 2}$ B、 ${1, 2}$ C、 ${1, 2, 4}$ D、 ${0, 1, 2, 4}$

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2. 设复数 $z = \frac{3 - i}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、-2 C、 $2 i$ D、2

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3. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 $x$ 的值为 2，则输出v的值为（）

A、 $2^{11} - 1$ B、 $2^{11} - 2$ C、 $2^{10} - 1$ D、 $2^{10} - 2$

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4. 已知命题 $p$ ： $y^{2} = 2 m x$ 表示焦点在 $x$ 轴的正半轴上的抛物线，命题 $q$ ： $\frac{x^{2}}{m + 2} + \frac{y^{2}}{6 - m} = 1$ 表示椭圆，若命题“ $p \land q$ ”为真命题，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 2 < m < 6$ 且 $m \neq 2$ B、 $0 < m < 6$ C、 $0 < m < 6$ 且 $m \neq 2$ D、 $- 2 < m < 6$

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5. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b \sin A = 2 c \sin B$ ， $\cos B = \frac{1}{4}$ ， $b = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $9 \sqrt{15}$ B、 $\frac{9 \sqrt{15}}{16}$ C、 $\frac{3 \sqrt{15}}{16}$ D、 $\frac{9}{16}$

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6. 干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法．它是用60组各不相同的天干地支标记年月日时的历法．具体的算法如下：先用年份的尾数查出天干，如2013年3为癸；再用2013年除以12余数为9，9为巳．那么2013年就是癸巳年了，

天干	甲	乙	丙	丁	戊	己	庚	辛	壬	癸
	4	5	6	7	8	9	0	1	2	3
地支	子	丑	寅	卯	辰	巳	午	未	申	酉	戌	亥
	4	5	6	7	8	9	10	11	12	1	2	3

2020年高三应届毕业生李东是壬午年出生，李东的父亲比他大25岁．问李东的父亲是哪一年出生（）

A、甲子 B、乙丑 C、丁巳 D、丙卯

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7. 若 $\log_{2} x + \log_{4} y = 1$ ，则 $x^{2} + y$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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8. 将函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $a (a > 0)$ 个单位得到函数 $g (x) = \cos 2 x$ 的图象，则 $a$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{12}$

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9. 设随机变量 $X$ ， $Y$ 满足： $Y = 3 X - 1$ ， $X \sim B (2, p)$ ，若 $P (X \geq 1) = \frac{5}{9}$ ，则 $D (Y) =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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10. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} (x + 1), x \geq 0 \\ \sqrt{- x}, x < 0 \end{array}$ ，则满足 $f (x + 1) < 2$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- 4, 3)$ B、 $(- 5, 2)$ C、 $(- 3, 4)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (4, + \infty)$

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11. 若a＝ $\frac{\ln 2}{2}$ ，b＝ $\frac{\ln 3}{3}$ ，c＝ $\frac{\ln 5}{5}$ ，则（）

A、a<b<c B、c<b<a C、c<a<b D、b<a<c

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12. 已知以圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 的圆心为焦点的抛物线 $C_{1}$ 与圆在第一象限交于 $A$ 点， $B$ 点是抛物线 $C_{2}$ ： $x^{2} = 8 y$ 上任意一点， $B M$ 与直线 $y = - 2$ 垂直，垂足为 $M$ ，则 $| B M | - | A B |$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、-1 D、8

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (x, x - 1)$ ， $\vec{b} = (2, 3)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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14. $\int_{1}^{e} (x^{2} + \frac{1}{x}) d x =$ ．

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15. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为．

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16. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 4) = - f (x)$ ，且在区间 $[0 ， 2]$ 上是增函数，若方程 $f (x) = m (m > 0)$ 在区间 $[- 8 ， 8]$ 上有四个不同的根，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} =$ .

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三、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1} ， a_{3} ， a_{9}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n}_{+ 1}}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18. 2019年底，湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者，为及时有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅行史（无接触史），无武汉旅行史（无接触史），有武汉旅行史（有接触史）和无武汉旅行史（有接触史），统计得到以下相关数据：

	有接触史	无接触史	总计
有武汉旅行史		4
无武汉旅行史	10
总计	25		45

下面的临界值表供参考：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

(1)、请将上面列联表填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系？

(2)、已知在无武汉旅行史的6名患者中，有2名无症状感染者.现在从无武汉旅行史的6名患者中，选出2名进行病例研究，求2人中至少有1名是无症状感染者的概率.

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19. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为菱形，且 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A C$ .

(2)、若 $∠ B A D = 60 °$ ，且平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，求 $∠ P C A$ 的大小.

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20. 在平面直角坐标系中，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且过点 $(1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过椭圆 $C$ 左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ （不与坐标轴垂直）与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若点 $H (- \frac{1}{3}, 0)$ 满足 $| H A | = | H B |$ ，求 $| A B |$ .

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数.

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $x_{0} < 1$ 时，证明： $f (x) \leq f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \sin θ$ ，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{6}) = 2$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 交于点 $A$ 、 $B$ ，曲线 $C_{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，求线段 $A B$ 的中点到点 $E$ 的距离.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 2 | - 5$ .

(1)、解不等式： $f (x) \geq | x - 1 |$ ；

(2)、当 $m \geq - 1$ 时，函数 $g (x) = f (x) + | x - m |$ 的图象与 $x$ 轴围成一个三角形，求实数 $m$ 的取值范围.

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