八省联考2021年1月数学普通高等学校招生全国统一考试适应性测试试卷

试卷更新日期：2021-01-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $M ， N$ 均为 $R$ 的子集，且 $∁_{R} M \subseteq N$ ，则 $M \cup (∁_{R} N) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $M$ C、 $N$ D、 $R$

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2. 在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0$ ，有下列四个命题：甲： $x = 1$ 是该方程的根；乙： $x = 3$ 是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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4. 椭圆 $\frac{x^{2}}{m^{2} + 1} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，若 $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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5. 已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，若向量 $\vec{c} = \sqrt{7} \vec{a} + \sqrt{2} \vec{b}$ ，则 $\sin 〈 \vec{a}, \vec{c} 〉 =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{9}$

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6. ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{9}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是（）

A、60 B、80 C、84 D、120

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7. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 上三点 $A (2 ， 2) ， B ， C$ ，直线 $A B ， A C$ 是圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，则直线 $B C$ 的方程为（）

A、 $x + 2 y + 1 = 0$ B、 $3 x + 6 y + 4 = 0$ C、 $2 x + 6 y + 3 = 0$ D、 $x + 3 y + 2 = 0$

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8. 已知 $a < 5$ 且 $a e^{5} = 5 e^{a} ， b < 4$ 且 $b e^{4} = 4 e^{b} ， c < 3$ 且 $c e^{3} = 3 e^{c}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = x \ln (1 + x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 单调递增 B、 $f (x)$ 有两个零点 C、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- \frac{1}{2} ， f (- \frac{1}{2}))$ 处切线的斜率为 $- 1 - \ln 2$ D、 $f (x)$ 是偶函数

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10. 设 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 为复数， $z_{1} \neq 0$ ．下列命题中正确的是（）

A、若 $| z_{2} | = | z_{3} |$ ，则 $z_{2} = \pm z_{3}$ B、若 $z_{1} z_{2} = z_{1} z_{3}$ ，则 $z_{2} = z_{3}$ C、若 ${\bar{z}}_{2} = z_{3}$ ，则 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} z_{3} |$ D、若 $z_{1} z_{2} = {| z_{1} |}^{2}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$

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11. 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）

A、 $A E / / C D$ B、 $C H / / B E$ C、 $D G ⊥ B H$ D、 $B G ⊥ D E$

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12. 设函数 $f (x) = \frac{\cos 2 x}{2 + \sin x \cos x}$ ，则（）

A、 $f (x) = f (x + π)$ B、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ 单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 单调递减

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三、填空题

13. 圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为．

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14. 写出一个最小正周期为2的奇函数 $f (x) =$ ．

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15. 对一个物理量做 $n$ 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差 $ε_{n} ~ N (0, \frac{2}{n})$ ，为使误差 $ε_{n}$ 在 $(- 0.5, 0.5)$ 的概率不小于0.9545，至少要测量次（若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (| X - μ | < 2 σ) = 0.9545)$ ）．

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16. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，．

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四、解答题

17. 已知各项都为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} + 3 a_{n}$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n} + a_{n + 1}}$ 为等比数列；

(2)、若 $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{2} = \frac{3}{2}$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式．

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18. 在四边形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A D = C D = B D = 1$ ．

(1)、若 $A B = \frac{3}{2}$ ，求 $B C$ ；

(2)、若 $A B = 2 B C$ ，求 $\cos ∠ B D C$ ．

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19. 一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．

(1)、求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；

(2)、记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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20. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 $2 π$ 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 $\frac{π}{3}$ ，所以正四面体在各顶点的曲率为 $2 π - 3 \times \frac{π}{3} = π$ ，故其总曲率为 $4 π$ ．

(1)、求四棱锥的总曲率；

(2)、若多面体满足：顶点数-棱数+面数 $= 2$ ，证明：这类多面体的总曲率是常数．

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21. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，动点 $B$ 在 $C$ 上．当 $B F ⊥ A F$ 时， $| A F | = | B F |$ ．

(1)、求 $C$ 的离心率；

(2)、若 $B$ 在第一象限，证明： $∠ B F A = 2 ∠ B A F$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \sin x - \cos x ， g (x) = e^{x} + \sin x + \cos x$ ．

(1)、证明：当 $x > - \frac{5 π}{4}$ 时， $f (x) ⩾ 0$ ；

(2)、若 $g (x) ⩾ 2 + a x$ ，求 $a$ ．

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