上海市崇明区高三上学期2021届第一次高考模拟数学试卷

试卷更新日期：2021-01-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若 $a < 0 < b$ ,则下列不等式恒成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $- a > b$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a^{3} < b^{3}$

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2. 正方体上点 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 、 $S$ 是其所在棱的中点，则直线 $P Q$ 与 $R S$ 异面的图形是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 设 ${a_{n}}$ 为等比数列，则“对于任意的 $m \in N^{*} ， a_{m}_{+ 2} > a_{m}$ ”是“ ${a_{n}}$ 为递增数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域是 $R$ ，对于以下四个命题：
（1）若 $y = f (x)$ 是奇函数，则 $y = f (f (x))$ 也是奇函数；(2) 若 $y = f (x)$ 是周期函数，则 $y = f (f (x))$ 也是周期函数；(3) 若 $y = f (x)$ 是单调递减函数，则 $y = f (f (x))$ 也是单调递减函数；(4) 若函数 $y = f (x)$ 存在反函数 $y = f^{- 1} (x)$ ，且函数 $y = f (x) - f^{- 1} (x)$ 有零点，则函数 $y = f (x) - x$ 也有零点．其中正确的命题共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

5. 设集合 $A = {1, 2, 3}$ ，集合 $B = {3, 4}$ ，则 $A \cap B =$ .

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6. 不等式 $\frac{x - 1}{x + 2} < 0$ 的解集是．

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7. 已知复数 $z$ 满足 $(\bar{z} - 2) i = 1$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z =$

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8. 设函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ 的反函数为 $f^{- 1} (x)$ ，则 $f^{- 1} (2) =$

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9. 点 $(0, 0)$ 到直线 $x + y = 2$ 的距离是

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10. 计算： $\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + n}{n (n + 2)} =$

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11. 若关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} 4 x + 6 y = 1 \\ a x - 3 y = 2 \end{array}$ 无解，则实数 $a =$

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12. 用 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ 组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为.

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13. 若 ${(2 a^{2} + b^{3})}^{n}$ 的展开式中有一项为 $m a^{4} b^{12}$ ，则 $m =$ ．

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14. 设 $O$ 为坐标原点，直线 $x = a$ 与双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的两条渐近线分别交于 $D$ 、 $E$ 两点，若△ $O D E$ 的面积为1，则双曲线 $C$ 的焦距的最小值为

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15. 已知函数 $y = f (x)$ ，对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x + 2) \cdot f (x) = k$ （ $k$ 为常数），且当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = x^{2} + 1$ ，则 $f (2021) =$

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16. 已知点 $D$ 为圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 的弦 $M N$ 的中点，点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，且 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} = 1$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O D}$ 的最大值为

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三、解答题

17. 如图，已知 $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C ⊥ C D ， A D$ 与平面 $B C D$ 所成角为 $30 °$ ，且 $A B = B C = 2$

(1)、求三棱锥 $A - B C D$ 的体积；

(2)、设 $M$ 为 $B D$ 的中点，求异面直线 $A D$ 与 $C M$ 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x - \sqrt{3} \cos^{2} x$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若锐角 $A$ 满足 $f (A) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ ， $C = \frac{π}{6}$ ， $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数 $y$ 与听课时间 $x$ （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当 $x \in [0 ， 16]$ 时，曲线是二次函数图象的一部分；当 $x \in [16 ， 40]$ 时，曲线是函数 $y = 80 + \log_{0.8} (x + a)$ 图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）

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20. 已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左右顶点分别为 $A$ 、 $B$ ， $P$ 为直线 $x = 4$ 上的动点，直线 $P A$ 与椭圆 $Γ$ 的另一交点为 $C$ ，直线 $P B$ 与椭圆 $Γ$ 的另一交点为 $D$ .

(1)、若点 $C$ 的坐标为 $(0, 1)$ ，求点 $P$ 的坐标；

(2)、若点 $P$ 的坐标为 $(4, 1)$ ，求以 $B D$ 为直径的圆的方程；

(3)、求证：直线 $C D$ 过定点.

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21. 对于数列 ${a_{n}}$ ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称 ${a_{n}}$ 为 $P$ 数列.

(1)、若数列1，2， $x$ ，8是 $P$ 数列，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、设数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $a_{10}$ 是首项为 $- 1$ 、公差为 $d$ 的等差数列，若该数列是 $P$ 数列，求 $d$ 的取值范围；

(3)、设无穷数列 ${a_{n}}$ 是首项为 $a$ 、公比为 $q$ 的等比数列，有穷数列 ${b_{n}}$ 、 ${c_{n}}$ 是从 ${a_{n}}$ 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为 $T_{1}$ 、 $T_{2}$ ，求证：当 $a > 0$ 且 $T_{1} = T_{2}$ 时，数列 ${a_{n}}$ 不是 $P$ 数列.

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