河南省郑州市重点高中2020-2021学年高二上学期理数阶段性测试（二)(12月)

试卷更新日期：2021-01-29 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2^{n} + 1$ ，则257是这个数列的（）

A、第6项 B、第7项 C、第8项 D、第9项

查看试题解析
2. 已知集合 $A = {x | \frac{x}{x - 2} \leq 0}$ ， $B = {x | - x^{2} + x + 2 \geq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x < 2}$ B、 ${x | 0 < x < 2}$ C、 ${x | 0 \leq x < 2}$ D、 ${x | - 1 \leq x \leq 0}$

查看试题解析
3. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点到直线 $x + y - 3 = 0$ 的距离 $d =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、2

查看试题解析
4. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则“ $a > b$ ”是“ $a + \sin A > b + \sin B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
5. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ 且 $x \neq k π (k \in Z)$ ，都有 $\sin x + \frac{1}{\sin x} \geq 2$ ；命题 $q$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} + 1 < 0$ .则下列命题中为真命题的是（）

A、 $p \land (\neg q)$ B、 $p \land q$ C、 $(\neg p) \land q$ D、 $(\neg p) \land (\neg q)$

查看试题解析
6. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} \sqrt{3} x - y \leq 0 ， \\ x - \sqrt{3} y + 2 \geq 0 ， \\ y \geq 0 ， \end{array}$ 则 $z = x + \frac{\sqrt{3}}{3} y$ 的最大值是（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、-2

查看试题解析
7. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1}$ ， $a_{5}$ 是方程 $x^{2} - 10 x + 16 = 0$ 的两根，则 $a_{3} =$ （）

A、4 B、-4 C、±4 D、±2

查看试题解析
8. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为3，则 $\frac{b^{2} + 2}{4 a}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、2

查看试题解析
9. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{5} + a_{6} + a_{7} + a_{8} + a_{9} = 400$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前13项和 $S_{13} =$ （）

A、260 B、520 C、1040 D、2080

查看试题解析
10. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边的长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $a + b = \sqrt{3} c$ ， $\sin A = 2 \sin B$ ，则角 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

查看试题解析
11. 已知关于 $x$ 的不等式 $k x^{2} - 3 k x + 2 k + 1 \geq 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 4]$ B、 $[0, 3]$ C、 $(- \infty, 0] \cup [3, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0] \cup [4, + \infty)$

查看试题解析
12. 已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $A$ 是 $C$ 的左顶点，点 $P$ 在过 $A$ 且斜率为 $\frac{1}{4}$ 的直线上， $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形，且 $∠ F_{1} F_{2} P = 150 °$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，过点 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| F_{2} A | + | A B | = 10$ ，则 $| F_{2} B | =$ .

查看试题解析
14. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{3} = a_{1} + 4 a_{2}$ ， $a_{5} = 162$ ，则 $S_{2020} =$ .

查看试题解析
15. 在 $△ A B C$ 中，已知 $| \vec{A B} | = \sqrt{3}$ ， $| \vec{A C} | = 1$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3}{4}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值为.

查看试题解析
16. 已知 $A$ ， $B$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的长轴的两个端点，若 $C$ 上存在点 $M$ 满足 $∠ A M B = 150 °$ ，则 $m$ 的取值范围是.

查看试题解析

三、解答题

17. 已知 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $4 x > m (x^{2} + 1)$ ， $q$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} - m^{2} + m + 3 = 0$ ，且 $p \land q$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围.

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{4}$ 成等比数列， $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{4}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $A = \frac{π}{3}$ ， $b = 4 c$ .

(1)、求 $\tan C$ 的值；

(2)、若 $a = \sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
20. 设抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、若直线 $l$ 的斜率为1，且 $| A B | = 8$ ，求抛物线 $C$ 和直线 $l$ 的方程；

(2)、若 $p = 2$ ，求线段 $A B$ 的长的最小值.

查看试题解析
21. 如果数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{2} = \frac{1}{5}$ ，且 $\frac{a_{n - 1} - a_{n}}{a_{n - 1}} = \frac{a_{n} - a_{n + 1}}{a_{n + 1}} (n \geq 2)$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{2^{n}}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点， $A$ 是椭圆 $C$ 的上顶点，直线 $l$ ： $y = k x + t (t \neq \pm 1)$ 与椭圆 $C$ 交于两个不同点 $P$ ， $Q$ .直线 $A P$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，直线 $A Q$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ，若 $| O M | \cdot | O N | = 2$ ，求证：直线 $l$ 经过定点.

查看试题解析