贵州省毕节市毕节二中2020-2021学年高二上学期理数月考试卷

试卷更新日期：2021-01-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 数列1,3,7,15,…的通项公式 $a_{n}$ 等于（）

A、 $2^{n}$ B、 $2^{n} + 1$ C、 $2^{n} - 1$ D、 $2^{n - 1}$

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2. 直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 圆心在y轴上，半径为1，且过点 $(1 ， 2)$ 的圆的方程是（）

A、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ B、 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ D、 $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$

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4. 执行如图2所示的程序框图，若输入 $n$ 的值为6，则输出 $s$ 的值为（）

A、105 B、16 C、15 D、1

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5. 圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 被直线 $3 x + 4 y + 5 = 0$ 截得的弦长为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 设函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ ， $x \in R$ ，其中 $ω > 0$ ， $| φ | < π$ .若 $f (\frac{5 π}{8}) = 2$ ， $f (\frac{11 π}{8}) = 0$ ，且 $f (x)$ 的最小正周期大于 $2 π$ ，则

A、 $ω = \frac{2}{3}$ ， $φ = \frac{π}{12}$ B、 $ω = \frac{2}{3}$ ， $φ = - \frac{11 π}{12}$ C、 $ω = \frac{1}{3}$ ， $φ = - \frac{11 π}{24}$ D、 $ω = \frac{1}{3}$ ， $φ = \frac{7 π}{24}$

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7. 已知 $a = \sqrt{2} ， b = \log_{\sqrt{3}} 3$ ，运算原理如图所示，则输出的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$

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8. 当点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上变动时，它与定点 $Q (- 3, 0)$ 的连线 $P Q$ 的中点的轨迹方程是（）

A、 ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 4$ B、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ D、 ${(x + \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$

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9. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）

A、28+6 $\sqrt{5}$ B、30+6 $\sqrt{5}$ C、56+12 $\sqrt{5}$ D、60+12 $\sqrt{5}$

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10. 已知正数 $x$ 、 $y$ 满足 $x + y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{1 + y}$ 的最小值为（）

A、 $2$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{14}{3}$ D、 $5$

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11. 若 $\cos (x + \frac{π}{12}) = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ ， $x \in (\frac{5 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ ，则 $\cos (\frac{π}{6} - x)$ 值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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12. 将 $∠ B = 60 °$ ，边长为1的菱形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折成二面角 $θ$ ，若 $θ \in [60 ° ， 120 °]$ ，则折后两条对角线之间的距离的最值为（）

A、最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，最大值为 $\frac{3}{2}$ B、最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，最大值为 $\frac{3}{4}$ C、最小值为 $\frac{1}{4}$ ，最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、最小值为 $\frac{3}{4}$ ，最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - y \leq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \\ x + 2 y \leq 6 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最小值为．

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14. 正方体的内切球与其外接球的表面积之比等于．

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15. 已知sin2α $= \frac{24}{25}$ ，则tanα＝．

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16. 曲线 $y = 1 + \sqrt{9 - x^{2}}$ 与直线 $y = k (x - 3) + 5$ 有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 3, 1)$ .

(1)、求 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ ；

(2)、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $\cos θ$ 的值.

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18. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a \sin B = \sqrt{3} b \cos A$ .
（Ⅰ）求角 $A$ 的值；

（Ⅱ）若 $Δ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $Δ A B C$ 的周长为6，求 $a$ ．

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19. 如图，已知点 $P$ 是正方形 $A B C D$ 所在平面外一点，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ，点 $E$ ， $F$ ， $H$ 分别是线段 $P B ， A C ， P A$ 的中点.

(1)、求证： $E F //$ 平面 $A P D$ ；

(2)、求异面直线 $H F$ 与 $C D$ 夹角的正切值.

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20. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 3 = 0$ ．

(1)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，且直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，求直线 $l$ 的方程；

(2)、求与圆 $C$ 和直线 $x - y - 5 = 0$ 都相切的最小圆的方程．

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21. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，点 $D$ 为 $A C$ 的中点，点 $E$ 在线段 $A A_{1}$ 上．

(1)、当 $A E ： E A_{1} = 1 ： 2$ 时，求证 $D E ⊥ B C_{1}$ ；

(2)、是否存在点 $E$ ，使三棱锥 $C_{1} - B D E$ 的体积恰为三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 体积的 $\frac{1}{3}$ ，若存在，求 $A E$ 的长，若不存在，请说明理由．

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22. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ， $a_{3} + a_{9} = 22$ ，且 $a_{1}, a_{2}, a_{5}$ 成等比数列；数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，且满足 $2 S_{n} = 1 - b_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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