浙江省台州市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-01-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {4 ， 5 ， 6} ， B = {3 ， 5 ， 7}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{5} C、 ${4 ， 6}$ D、 ${3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x + 2}$ 的定义域是（）

A、 $[- 3 ， + \infty)$ B、 $(- 3 ， + \infty)$ C、 $[- 3 ， - 2) \cup (- 2 ， + \infty)$ D、 $B = (- \infty ， 2]$

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3. 不等式 $2^{| x - 1 |} < 4$ 的解集是（）

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (3 ， + \infty)$ C、 $(- 3 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 3) \cup (1 ， + \infty)$

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4. 若实数 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + y ⩽ 3 ， \\ x - y ⩽ 1 ， \\ x ⩾ 1 ， \end{array}$ ，则 $2 x + y$ 的最大值是（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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5. 若 $a ， b \in R$ ，则“ $a b \geq \frac{1}{4}$ ”是“ $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 函数 $f (x) = \frac{\sin x}{\ln (x^{2} + 2)}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x - \frac{1}{x} ， x > 0 \\ x^{2} + 2 x ， x \leq 0 \end{array}$ ，则函数 $y = f [f (x) + 1]$ 的零点个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 若 $α$ 为锐角， $\sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos α$ =（）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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二、多选题

9. 已知集合 $M = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， N \cap M = {4 ， 5}$ ，则 $N$ 可能为（）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ B、 ${4 ， 5 ， 6}$ C、 ${4 ， 5}$ D、 ${3 ， 4 ， 5}$

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10. （多选）若函数 $y = x^{2} - 4 x - 4$ 的定义域为 $[0 ， m]$ ，值域为 $[- 8 ， - 4]$ ，则 $m$ 的值可能是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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11. 下列函数中，满足f(2x)=2f(x)的是（）

A、f(x)=|x| B、f(x)=x-|x| C、f(x)=x+1 D、f(x)=-x

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12. 如图，某湖泊的蓝藻的面积 $y$ （单位： $m^{2}$ ）与时间 $t$ （单位：月）的关系满足 $y = a^{t}$ ，则下列说法正确的是（）

A、蓝藻面积每个月的增长率为 $100 %$ B、蓝藻每个月增加的面积都相等 C、第6个月时，蓝藻面积就会超过 $60 m^{2}$ D、若蓝藻面积蔓延到 $2 m^{2} ， 3 m^{2} ， 6 m^{2}$ 所经过的时间分别是 $t_{1} ， t_{2} ， t_{3}$ ，则一定有 $t_{1} + t_{2} = t_{3}$

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三、填空题

13. 已知 $\lg a - \lg b = \lg (a - b)$ ，则实数a的取值范围是.

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14. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增.若对任意 $x \in R$ ，不等式 $f (a + | x - b |) \geq f (| x | - 2 | x - 1 |) (a ， b \in R)$ 恒成立，则 $2 a^{2} + b^{2}$ 的最小值是.

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15. 已知 $a \in R ， b > 0$ ，若存在实数 $x \in [0 ， 1)$ ，使得 $| b x - a | ⩽ b - a x^{2}$ 成立，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x$ ， $x \in R$ ，则函数 $f (x)$ 的最大值是，且取到最大值时 $x$ 的集合是．

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四、解答题

17. 设数集 $A$ 由实数构成，且满足：若 $x \in A$ （ $x \neq 1$ 且 $x \neq 0$ ），则 $\frac{1}{1 - x} \in A$ ．

(1)、若 $2 \in A$ ，则 $A$ 中至少还有几个元素？

(2)、集合 $A$ 是否为双元素集合？请说明理由．

(3)、若 $A$ 中元素个数不超过 $8$ ，所有元素的和为 $\frac{14}{3}$ ，且 $A$ 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合 $A$ ．

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18. 讨论 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a \neq 0)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \sin (x + \frac{π}{2})$ $（ x \in R ）$ .
（Ⅰ）求 $f (0)$ 的值；

（Ⅱ）求 $f (x)$ 的最小正周期；

（Ⅲ）若 $y = f (x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 为偶函数，求 $φ$ 的值.

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20. 设 $a \in [0 ， 4]$ ，已知函数 $f (x) = \frac{4 x - a}{x^{2} + 1} ， x \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 是奇函数，求 $a$ 的值；

(2)、当 $x > 0$ 时，证明： $f (x) \leq \frac{a}{2} x - a + 2$ ；

(3)、设 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，若实数 $m$ 满足 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) = - m^{2}$ ，证明： $f (m - a) - f (1) < \frac{1}{8}$ .

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21. 如图，摩天轮的半径为 $40 m$ ， $O$ 点距地面的高度为 $50 m$ ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每 $2 \min$ 转一圈，摩天轮上点 $P$ 的起始位置在最高点.

（Ⅰ）试确定点 $P$ 距离地面的高度 $h$ （单位： $m$ ）关于转动时间（单位： $\min$ ）的函数关系式；

（Ⅱ）摩天轮转动一圈内，有多长时间点 $P$ 距离地面超过 $70 m$ ？

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22. 如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数 $f (x) = \sqrt{a x^{2} + b x + a + 1}$ 的定义域为 ${{x|ax}^{2} +bx+a+1 \geq 0 ，且 x \geq 0}$ .
（Ⅰ）若 $a=-1$ ， $b=2$ ，求 $f (x)$ 的定义域；

（Ⅱ）当 $a=1$ 时，若 $f (x)$ 为“同域函数”，求实数b的值；

（Ⅲ）若存在实数 $a<0$ 且 $a \neq - 1$ ，使得 $f (x)$ 为“同域函数”，求实数b的取值范围.

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