天津市和平区2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-01-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\sin \frac{5 π}{6} =$ （）．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知集合 $A = {x | 3^{x - 1} < 1}, B = {x | 2 x - x^{2} ⩽ 0}$ ，则 $A \cup (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 1}$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | x < 1}$ D、 ${x | x < 2}$

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3. 已知x、y都是实数，那么“ $x > y$ ”的充分必要条件是（）．

A、 $\lg x > \lg y$ B、 $2^{x} > 2^{y}$ C、 $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ D、 $x^{2} > y^{2}$

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4. 函数 $f (x) = \ln x - \frac{3}{e}$ 的零点所在区间为（）

A、 $(\frac{1}{e} ， 1)$ B、 $(1 ， e)$ C、 $(e ， e^{2})$ D、 $(e^{2} ， e^{3})$

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5. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} + m - 1}$ 是幂函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数，则实数m的值是（）．

A、-1或2 B、2 C、-1 D、1

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6. 已知 $a = \log_{2} \sqrt{5}$ ， $b = \log_{5} \sqrt{2}$ ， $c = 3^{- 0.5}$ ，则（）．

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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7. 如图是函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象，则 $ω$ 和 $φ$ 的值分别为（）

A、 $2 ， \frac{π}{6}$ B、 $2 ， - \frac{π}{3}$ C、 $1 ， \frac{π}{6}$ D、 $1 ， - \frac{π}{3}$

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8. 若不等式 ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2 a x} < 2^{3 x + a^{2}}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， - 1)$ B、 $(\frac{3}{4} ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{3}{4})$ D、 $(- \infty ， \frac{3}{4})$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \leq 0 \\ \log_{2} x ， x > 0 \end{array}$ ，函数 $g (x) = f (x) + x + m$ ，若 $g (x)$ 有两个零点，则m的取值范围是（）．

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1]$ C、 $[0 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 0)$

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二、填空题

10. 命题“ $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 = 0$ ”的否定为．

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11. 化简 $\lg 1000 + 8^{\frac{1}{3}} - 3^{\log_{3} 4} =$ ．

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12. 已知角 $α$ 是第四象限角，且满足 $3 \cos (- α) - \sin (\frac{π}{2} + α) = 1$ ，则 $\tan α =$ ．

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13. 若 $a > - 2$ ，则 $a + \frac{16}{a + 2}$ 的最小值为.

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14. 函数 $f (x) = a^{x} + \log_{a} (x + 1)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $[0 ， 1]$ 上的最大值与最小值之和为 $a$ ，则 $a$ 的值为．

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15. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a^{x} ， x \geq 1 \\ (4 - \frac{a}{2}) x + 2 ， x < 1 \end{array}$ 满足对任意的实数 $x_{1} \neq x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

16. 已知 $\tan (α + \frac{π}{4}) = 2 + \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $\tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin^{2} α - 2 \cos^{2} α}{2 \sin^{2} α + \cos^{2} α}$ 的值．

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17. 已知 $α, β$ 为锐角， $\cos α = \frac{1}{7}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{11}{14}$ ．

(1)、求 $\sin (α + β)$ 的值；

(2)、求 $\cos β$ 的值．

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18. 已知定义在 $[- 3, 3]$ 上的函数 $y = f (x)$ 是增函数.

(1)、若 $f (m + 1) > f (2 m - 1)$ ，求m的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 是奇函数，且 $f (2) = 1$ ，解不等式 $f (x + 1) + 1 > 0$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、求 $f (x)$ 图像的对称轴方程和对称中心的坐标．

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20. 已知函数 $f (x) = 4 \cos x \sin (x - \frac{π}{6}) + 1 (x \in R)$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象．

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；

(2)、求函数 $y = g (x)$ 的解析式；

(3)、若 $f (\frac{x_{0}}{2}) = \sqrt{3}$ ，求 $g (x_{0})$ ．

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