天津市东丽区2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-01-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，集合 $A = {2, 3, 4}$ ， $B = {1, 3, 4}$ 则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${1, 2, 5, 6}$ B、 ${5, 6}$ C、 ${2, 3, 5, 6}$ D、 ${1, 2, 3, 4}$

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2. “ $a > b, c > 0$ ”是“ $a c > b c$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 下列幂函数在区间 $(0, + \infty)$ 内单调递减的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = x^{- 1}$

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4. 设 $a = {1.1}^{0.3}$ ， $b = {0.9}^{3.1}$ ， $c = l o g_{3} 0.2$ ，则a，b，c大小关系正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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5. 若 $\tan α = 2$ ，则 $t a n 2 α =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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6. 当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a^－x与y＝log_ax的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知α是第一象限角，若 $| c o s \frac{α}{2} | = - c o s \frac{α}{2}$ ，那么 $\frac{α}{2}$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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8. 已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3})$ ．给出下列结论：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；② $f (\frac{π}{2})$ 是 $f (x)$ 的最大值；③把函数 $y = \sin x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 的图象．其中所有正确结论的序号是（）

A、① B、①③ C、②③ D、①②③

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9. 下列结论正确的是（）

A、 $\sin 1 < \cos 1$ B、 $\cos (- \frac{23 π}{5}) > \cos (- \frac{17 π}{4})$ C、 $\tan (- 52^{\circ}) > \tan (- 47^{\circ})$ D、 $\sin (- \frac{π}{18}) > \sin (- \frac{π}{10})$

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二、填空题

10. 命题 $p : \exists x \in R$ ， $x + 1 > 0$ 的否定形式 $\neg p$ 为．

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11. 计算： $\log_{3} 5 - \log_{3} 15 + \sqrt[4]{{(3 - π)}^{4}} =$ ．

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12. 计算： $\frac{1}{\sin 10 °} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10 °} =$ .

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 3 ， x \leq 0 \\ - 2 + \ln x ， x > 0 \end{array}$ ，方程 $f (x) = k$ 有两个实数解，则 $k$ 的范围是．

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14. 设 $x > 1$ ， $y = x + \frac{1}{x - 1}$ 在 $x =$ 时y的最小值等于．

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15. 函数 $f (x) = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ 的定义域是，最小正周期是．

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三、解答题

16. 已知集合 $A = {a | l o g_{a} \frac{1}{2} < 1}$ ， $B = {a | {(\frac{1}{2})}^{a} < 1}$ ．

(1)、求集合A、B；

(2)、求 $∁_{R} (A \cap B)$ ．

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17. 已知 $s i n (π + α) = - \frac{4}{5},$ $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ．

(1)、求值： $\frac{s i n (\frac{π}{2} + α) + 2 c o s (π - α)}{s i n (\frac{π}{2} - α) + s i n (- α)}$ ；

(2)、求值： $\tan (\frac{15 π}{4} - α)$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 4$ ．

(1)、当 $a = 5$ ，解关于x的不等式 $f (x) > 0$ ；

(2)、设函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x} (1 ⩽ x ⩽ 5)$ ，若 $g (x)$ 的最小值为2，求 $g (x)$ 的最大值．

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19. 已知 $\cos (α + β) = \frac{1}{5}$ ， $\cos (α - β) = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求证： $2 \tan α \tan β = 1$ ．

(2)、若 $α + β$ 为第一象限角， $α - β$ 为第四象限角，求 $s i n 2 α$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + 2 c o s^{2} x + m, x \in [0, \frac{π}{2}]$ 的最大值为1

(1)、求常数m的值；

(2)、当 $x \in [0, π]$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间．

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