上海市浦东新区2020-2021学年高一上学期数学教学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-01-28 类型：期末考试

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1. 若实数 $a, b$ 满足 $a > b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $| a | > | b |$ B、 $a^{3} > b^{3}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $a b^{2} > b^{2}$

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2. “函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 均是定义域为 $R$ 的奇函数”是“函数 $y = f (x) \cdot g (x)$ 是偶函数”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件

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3. 下列不等式中，解集相同的是（）

A、 $x^{2} - 2 x < 3$ 与 $\frac{x^{2} - 2 x}{x - 1} < \frac{3}{x - 1}$ B、 $x < 5$ 与 $x + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} < 5 + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ C、 $\frac{(x - 3) (x + 1)}{x + 1} > 0$ 与 $x - 3 > 0$ D、 $\frac{(x - 3) (x + 1)}{x - 3} > 0$ 与 $x + 1 > 0$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 3^{x + 1} ， x \leq 0 ， \\ {log}_{2} x ， x > 0 \end{matrix}$ 若f(x₀)>3，则x₀的取值范围是（）

A、(8，＋∞) B、(－∞，0)∪(8，＋∞) C、(0，8) D、(－∞，0)∪(0，8)

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5. 设集合 $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}$ ， $B = {x | x \leq 1$ 且 $x \in N}$ ，则 $A \cap B =$ .

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6. $(3, \sqrt{3})$ 在幂函数 $y = x^{a}$ 的图象上，则该幂函数的表达式为.

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7. 不等式 $x^{2} - 4 x + 3 \leq 0$ 的解集是.

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8. 已知 $\log_{2} a = \frac{1}{3}$ ，则 $a^{3} =$ .

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9. 函数 $y = 4 x + 2$ 的反函数是.

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10. 设函数 $y = \log_{a} x + 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，则该函数的图象恒过定点的坐标是.

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11. 当 $x > 1$ 时， $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值为.

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12. 已知函数 $y = \frac{2}{x}$ ， $x \in [1, 2]$ ，则此函数的值域是.

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13. 若不等式 $| x - 3 | + | x - 2 | < a$ 在 $x \in R$ 上有解，则实数 $a$ 的取值范围为.

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14. 已知函数 $y = x^{2} - 2 (a + 1) x - 2$ 在区间 $(- \infty, 4]$ 上是严格减函数，则实数a的取值范围是.

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15. 定义在R上的奇函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上的图像如图所示，则不等式 $x \cdot f (x) ⩾ 0$ 的解集是.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2}{x}, x \geq 2 \\ {(x - 1)}^{3}, x < 2 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = k$ 有两个不同的实根，则数 $k$ 的取值范围是.

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17. 设 $a$ 、 $b$ 为实数，比较 $a^{2} + b^{2}$ 与 $4 a - 4 b - 8$ 的值的大小.

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18. 设函数为 $y = \log_{2} \frac{x - 2}{x + 1}$ 的定义域为P，不等式 $| x + 1 | \leq 2$ 的解集为Q.

(1)、求集合P，Q；

(2)、已知全集 $U = R$ ，求 $\bar{P} \cap Q$ .

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19. 已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = x^{2} - a x + 1 (a \in R)$ .讨论函数 $y = f (x)$ 的奇偶性，并说明理由.

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20. 某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第 $x$ 天 $(1 \leq x \leq 20, x \in N)$ 的销售价格 $p = 50 - x$ （元 $/$ 百斤），第 $x$ 天 $(1 \leq x \leq 20, x \in N)$ 的销售量 $q = 40 + | x - 8 |$ （百斤）（销售收入 $=$ 销售价格 $\times$ 销售量）

(1)、求第10天销售该商品的销售收入是多少?

(2)、这20天中，哪一天的销售收入最大?最大值为多少?

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21. 已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = x + \frac{m}{x} - 1 (x \neq 0)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求证： $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上是严格减函数；

(2)、若对任意的 $x \in R$ ，不等式 $f (2^{x}) > 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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