江苏省南通市如皋市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-01-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $M = {x | x \geq 0}$ ，集合 $N = {x | x^{2} < 1}$ ，则M∩（ $C_{U} N$ ）=（）

A、 $(0, 1)$ B、 $[0, 1]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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2. “ $a = 2$ ”是“函数 $f (x) = | x - a |$ 在区间 $[2, + \infty)$ 上为增函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{1}{2}}$ ， $b = {(\frac{3}{4})}^{- \frac{1}{2}}$ ， $c = \log_{4} 3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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4. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (x + 2) + 3$ 的图象恒过定点 $(m ， n)$ ，且函数 $g (x) = m x^{2} - 2 b x + n$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递减，则实数 $b$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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5. 已知函数 $h (x) = e^{x}$ 与函数 $g (x)$ 的图像关于 $y = x$ 对称，且 $f (x) = g (\frac{1 - x}{1 + x})$ ，有如下五个命题，正确的个数为（）
①函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 1, 1)$ ；②函数 $f (x)$ 是偶函数③若 $| g (a) | = | g (b) | (a < b)$ ，则 $a + 4 b$ 的取值范围是 $[4, + \infty)$ ④对于任意的 $a, b \in (- 1, 1)$ ，都有 $f (a) + f (b) = f (\frac{a + b}{1 + a b})$ ⑤对于函数 $f (x)$ 定义域中任意的两个不同实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，总满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ．

A、4 B、3 C、2 D、1

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6. 对于函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ，设 $α \in {x | f (x) = 0}$ ， $β \in {x | g (x) = 0}$ ，若存在 $α, β$ ，使得 $| α - β | ⩽ 2$ ，则称 $f (x), g (x)$ 互为“零点相邻函数”.若 $f (x) = e^{x - 2} + x - 3$ 与 $g (x) = x^{2} - a x - a - 2$ 互为“零点相邻函数”，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, \frac{14}{5})$ B、 $[- 2, \frac{14}{5}]$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (\frac{14}{5}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [\frac{14}{5}, + \infty)$

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7. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： $I (t) = \frac{K}{1 + e^{- 0.23 (t - 53)}}$ ，其中K为最大确诊病例数．当I( $t^{*}$ )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为（）（ln19≈3）

A、60 B、63 C、66 D、69

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8. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，若点M为边 $B C$ 所在直线上的一个动点，则 $| 4 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 2 \vec{M C} |$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{6}$ B、 $6 \sqrt{6}$ C、 $\frac{3 \sqrt{249}}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$

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二、多选题

9. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ，集合 $B = {x | x < m + 1}$ ，则 $A \cap B = \emptyset$ 的一个充分不必要条件是（）

A、 $m \leq - 2$ B、 $m < - 2$ C、 $m < 2$ D、 $- 4 < m < - 3$

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10. 下列结论中正确的是（）

A、终边经过点 $(a, a) (a \neq 0)$ 的角的集合是 ${α | α = \frac{π}{4} + k π, k \in Z}$ ； B、将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 $\frac{π}{3}$ ； C、若 $α$ 是第三象限角，则 $\frac{α}{2}$ 是第二象限角， $2 α$ 为第一或第二象限角； D、 $M = {x | x = 45 ° + k \cdot 90 °, k \in Z}$ ， $N = {y | y = 90 ° + k \cdot 45 °, k \in Z}$ ，则 $M \subseteq N$ ．

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11. 如图，B是 $A C$ 的中点， $\vec{B E} = 2 \vec{O B}$ ，P是平行四边形 $B C D E$ 内（含边界）的一点，且 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} (x ， y \in R)$ ，则下列结论正确的为（）

A、当 $x = 0$ 时， $y \in [2 ， 3]$ B、当P是线段 $C E$ 的中点时， $x = - \frac{1}{2}$ ， $y = \frac{5}{2}$ C、若 $x + y$ 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段 D、 $x - y$ 的最大值为-1

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12. 设函数 $f (x) = x \ln x$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ ，给定下列命题，其中正确的是（）

A、若方程 $f (x) = k$ 有两个不同的实数根，则 $k \in (- \frac{1}{e} ， 0)$ ； B、若方程 $k f (x) = x^{2}$ 恰好只有一个实数根，则 $k < 0$ ； C、若 $x_{1} > x_{2} > 0$ ，总有 $m [g (x_{1}) - g (x_{2})] > f (x_{1}) - f (x_{2})$ 恒成立，则 $m \geq 1$ ； D、若函数 $F (x) = f (x) - 2 a g (x)$ 有两个极值点，则实数 $a \in (0 ， \frac{1}{2})$ ．

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三、填空题

13. 已知 $s i n (\frac{12 π}{5} + θ) + 2 s i n (\frac{11}{10} π - θ) = 0$ ，则 $\tan (\frac{2 π}{5} + θ) =$ .

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14. 若 $x > 1$ ，则 $9 x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值等于.

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15. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 2 & x \leq 1 \\ lg | x - m | & x > 1 \end{matrix}$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的取值范围为

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16. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ .已知 $A C = B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A D ⊥ B D$ ，且 $O$ 是 $A C$ 的中点，若 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} - \vec{C D} \cdot \vec{C B} = 2$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的值为.

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四、解答题

17. 若集合 $A = {x | \frac{x - 5}{x + 1} < 0}$ ，集合 $B = {x | 2 x^{2} - x - 1 < 0}$ ，集合 $C = {x | m - 1 \leq x \leq m + 1}$ ．

(1)、求集合 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cup C = A$ ，求实数m的取值范围．

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18. 已知扇形的面积为 $\frac{π}{6}$ ，弧长为 $\frac{π}{6}$ ，设其圆心角为 $α$

(1)、求 $α$ 的弧度；

(2)、求 $\frac{\cos (\frac{π}{2} + α) \sin (- π - α)}{\cos (\frac{11 π}{2} - α) \sin (\frac{9 π}{2} + α)}$ 的值.

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19. 在① $B = {x | x^{2} + x > 2},$ ② $B = {x | y = \sqrt{2 x^{2} - 1}}$ 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中.
问题.已知全集U=R，A={x|2x-1<0}，且_________，求 $(∁_{U} A) \cap B .$

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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20. 在直角坐标系中，O为坐标原点， $\overset{⇀}{O A} = (3, 1)$ ， $\overset{⇀}{O B} = (2, - 1)$ ， $\overset{⇀}{O C} = (a, b)$ .

(1)、若A，B，C三点共线，求a，b的关系；

(2)、若 $\overset{⇀}{A C} = - 3 \overset{⇀}{A B}$ ，求点C的坐标.

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21. 中国“一带一路”战略构思提出后,某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇,决定开发生产一款大型电子设备,生产这种设备的年固定成本为500万元,每生产x台,需另投入成本 $C (x)$ (万元),当年产量不足 $80$ 台时, $C (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x$ (万元); 当年产量不小于 $80$ 台时 $C (x) = 101 x + \frac{8100}{x} - 2180$ (万元),若每台设备售价为 $100$ 万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.

(1)、求年利润y(万元)关于年产量x（台）的函数关系式；

(2)、年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a \cdot 4^{x} - 1}{4^{x} + 1}$ 是定义在R上的奇函数.

(1)、求a的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的单调性，并利用结论解不等式： $f (x^{2} - 2 x) + f (3 x - 2) < 0$ ；

(3)、是否存在实数k，使得函数 $f (x)$ 在区间 $[m ， n]$ 上的取值范围是 $[\frac{k}{4^{m}} ， \frac{k}{4^{n}}]$ ？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.

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