甘肃省兰州市第四片区2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-01-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集为 $R$ ，集合 $A = {x | 0 < x < 2} ， B = {x | x \leq 1}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | 0 < x \leq 1}$ B、 ${x | 0 < x < 1}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | 1 < x < 2}$

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2. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（）．

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = - 2 x^{2}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = x$

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3. 若经过 $A (3 ， m)$ ， $B (1 ， 2)$ 两点的直线的倾斜角为 $45^{\circ}$ ，则 $m =$ （）

A、6 B、-6 C、4 D、-4

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4. 函数 $f (x) = 2^{x} - 3 x$ 的零点所在的一个区间是（）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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5. $m$ ， $n$ 是空间两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / β$ ， $α / / β$ ，则 $m / / n$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m / / n$ ，则 $α / / β$

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6. 某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧），则该几何体的表面积为（）

A、 $6 π + 6$ B、 $4 π + 6$ C、 $4 π + 3$ D、 $6 π + 3$

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7. 函数 $y = | \log_{2} x | - {(\frac{1}{2})}^{x}$ 的零点个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 用与球心距离为1的平面去截这个球，截面面积为 $π$ ，则球的体积为（）

A、 $\frac{32 π}{3}$ B、 $\frac{8 π}{3}$ C、 $8 \sqrt{2} π$ D、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$

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9. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = 2 ， B C = 1.5$ ， $∠ A B C = 120^{0}$ ，若使该三角形绕直线 $B C$ 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）

A、 $\frac{3 π}{2}$ B、 $\frac{5 π}{2}$ C、 $\frac{7 π}{2}$ D、 $\frac{9 π}{2}$

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10. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $A_{1} B$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角的大小是（）

A、90° B、60° C、45° D、30°

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11. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1}$ ，则异面直线 $B A_{1}$ 与 $A C_{1}$ 所成的角等于（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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12. 已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是边长为 $4$ 的正方形，若一个半径为 $1$ 的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{9}{4}$

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二、填空题

13. 如果三个球的表面积之比是 $1 ： 2 ： 3$ ，那么它们的体积之比是．

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14. 正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥O－AB₁D₁的体积为．

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15. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．

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16. 定义在R上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) = \log_{2} x$ ，则不等式 $f (x) < - 1$ 的解集是.

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三、解答题

17. 已知：函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ，

(1)、求函数f（x）的定义域；判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；

(2)、判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

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18. 如图， $A B C D$ 是正方形，直线 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、证明：直线 $P A / /$ 平面 $E D B$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值.

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 90^{\circ}$ ， $∠ A D C = 135^{\circ}$ ， $A B = 5$ ， $C D = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = 2$ ，求四边形 $A B C D$ 绕直线 $A D$ 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

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20. 已知幂函数 $g (x) = (m^{2} - 3) x^{m} (m \in R)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 为减函数，且对数函数 $f (x)$ 满足 $f (- m + 1) + f (- m - 1) = \frac{1}{2}$

(1)、求 $g (x)$ 、 $f (x)$ 的解析式

(2)、若实数a满足 $f (2 a - 1) < f (5 - a)$ ，求实数a的取值范围．

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21. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.

(1)、求证：PA⊥BD；

(2)、求证：平面BDE⊥平面PAC；

(3)、当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．

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22. 如图：在四棱锥 $V - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为 $\sqrt{5}$ 的等腰三角形.

(1)、求二面角 $V - A B - C$ 的平面角的大小；

(2)、求四棱锥 $V - A B C D$ 的体积.

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