初中数学苏科版九年级下册 5.2 二次函数的图象和性质同步训练

试卷更新日期：2021-01-28 类型：同步测试

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一、单选题

1. 抛物线y=﹣ $\frac{1}{3}$ x²+3x﹣2与y=ax²的形状相同，而开口方向相反，则a=（）

A、﹣ $\frac{1}{3}$ B、3 C、﹣3 D、 $\frac{1}{3}$

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2. 已知二次函数y=﹣2（x﹣3）²+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而增大．其中说法正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 已知二次函数 $y = 2 x^{2} - 8 x + 9$ ，当 $1 \leq x \leq 5$ 时，函数 $y$ 的最小值为（）

A、3 B、2.4 C、1 D、19

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4. 将函数 $y = - {(x + 4)}^{2} + 1$ 的图象向右平移2个单位.再向下平移4个单位.所得图象的对称轴是（）

A、 $x = - 2$ B、 $x = 2$ C、 $x = - 4$ D、 $x = - 3$

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5. 如图，在同一坐标系下，一次函数 $y = a x + b$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x + 4$ 的图像大致可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 0≤x≤ $\frac{3}{2}$ ，那么函数 $y = - x^{2} + 4 x - 3$ 的最大值为（）

A、0 B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、 $\frac{5}{2}$

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7. 在函数① $y = 4 x^{2} - 3$ ② $y = \frac{2}{3} x^{2} + \frac{1}{2} x$ ③ $y = - \frac{4}{3} x^{2} - 1$ 中，图象开口大小顺序用序号表示为（）

A、①>②>③ B、①>③>② C、②>③>① D、②>①>③

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8. 二次函数 $y = m^{2} x^{2} - 4 x + 1$ 有最小值 $- 3$ ，则 $m$ 等于（）

A、1 B、-1 C、±1 D、 $\pm \frac{1}{2}$

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9. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y=ax²的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{9}$ ≤a≤3 B、 $\frac{1}{9}$ ≤a≤1 C、 $\frac{1}{3}$ ≤a≤3 D、 $\frac{1}{3}$ ≤a≤1

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，与 $x$ 轴的一个交点坐标为（-1，0），与 $y$ 轴交点为（0，3），其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（）
① $a - b + c = 0$ ；②当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；③当 $y < 0$ 时， $- 1 < x < 3$ ；④关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c - 3 = 0$ 有两个相等的实数根

A、①③ B、②④ C、③④ D、①②④

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二、填空题

11. 抛物线 $y = (m - 1) x^{2}$ 开口向上，则 $m$ 的取值范围是．

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12. 二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 4$ ，当自变量为 $- 1 \leq x \leq 2$ 时，函数值y的取值范围是.

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13. 已知抛物线 $y = 2 x^{2} - 4 x + 5$ ，将该抛物线沿 $x$ 轴翻折后的新抛物线的解析式为.

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14. 如图，把抛物线y=-x²+2向右平移1个单位长度，则曲线AB扫过的面积（图中阴影部分）是.

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15. 已知y＝x²+（1﹣a）x+2是关于x的二次函数，当x的取值范围是0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，则实数a的取值范围是．

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16. 已知四个二次函数的图象如图所示，那么a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄的大小关系是．（请用“＞”连接排序）

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17. 如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y＝a（x+m）²+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标的最大值为．

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18. 如图，点A是抛物线y=x²-4x对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为．

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三、综合题

19. 已知函数 $y = (m - 3) {(x + 2)}^{m^{2} - 7} + m - 2$ 是二次函数．

(1)、求m的值；

(2)、求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．

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20. 函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．

(1)、分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= $\frac{2}{x}$ ，y=2(x-1)²+1的最大值和最小值．

(2)、对于二次函数y=2(x-m)²+m-2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．

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21. 四边形ABCD的两条对角线AC， BD互相垂直，AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边形的面积最大？

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22. 如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点， $A B = 16 c m$ ， $AD = 6 cm$ ，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以 $3 c m / s$ 的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以 $2 c m / s$ 的速度向点D移动，设移动时间为 $t (s)$ ，问：

(1)、当t为何值时，P、Q两点间的距离是10cm？

(2)、当t为何值时，P、Q两点间距离最小？最小距离为多少？

(3)、P、Q两点间距离能否是18cm？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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23. 在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．

(1)、求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；

(2)、当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．

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24. 如图，已知二次函数y=ax²+2x+c的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点A，点B(3，0)，P是直线BC上方的抛物线上一动点。

(1)、求二次函数y=ax²+2x+c的解析式。

(2)、连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP'C．若四边形POP'C为菱形，请求出此时点P的坐标。

(3)、当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积。

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25. 如图，点P为抛物线y= $\frac{1}{4} x^{2}$ 上一动点

(1)、若抛物线y= $\frac{1}{4} x^{2}$ 是由抛物线y= $\frac{1}{4} {(x + 2)}^{2} - 1$ 通过图象平移得到的，请写出平移的过程；

(2)、若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，-1），过点P作PM⊥l于M．
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．

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26.
如图，抛物线y= $\frac{2}{3}$ x²+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣ $\frac{2}{3}$ x﹣ $\frac{2}{3}$ 交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．

(3)、设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．

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初中数学苏科版九年级下册 5.2 二次函数的图象和性质 同步训练

一、单选题

二、填空题

三、综合题

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