2016年广东省汕头市高考数学模拟试卷（理科）

试卷更新日期：2016-07-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合P={x|1＜2^x＜2}，Q={x| $\log_{\frac{1}{2}}$ x＞1}，则P∩Q=（　　）

A、（0， $\frac{1}{2}$ ） B、（ $\frac{1}{2}$ ,1） C、（﹣1， $\frac{1}{2}$ ） D、（0，1）

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2. i是虚数单位，复数 $\frac{{(1 + i)}^{2}}{1 - i}$ 的虚部为（　　）

A、2i B、-2 C、i D、1

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3. 将函数y=sin（x+ $\frac{π}{6}$ ）（x∈R）的图象上所有点的纵坐标不变横坐标缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再把图象上各点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，则所得的图象的解析式为（　）

A、y=sin（2x+ $\frac{5 π}{6}$ ） B、y=sin（ $\frac{1}{2}$ x+ $\frac{π}{6}$ ） C、y=sin（2x+ $\frac{2 π}{3}$ ） D、y=sin（ $\frac{1}{2}$ x+ $\frac{5 π}{12}$ ）

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4. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；
②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
③若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．
④若m∥α，α⊥β，则m⊥β．
其中真命题的个数是（　　）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个非零向量，则下列哪个描述是正确的（　　）

A、若| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ |﹣| $\vec{b}$ |，则 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ B、若 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ |﹣| $\vec{b}$ | C、若| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ |﹣| $\vec{b}$ |，则存在实数λ使得 $\vec{a}$ = $λ$ $\vec{b}$ D、若存在实数λ使得 $\vec{a}$ = $λ$ $\vec{b}$ ，则| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ |﹣| $\vec{b}$ |

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6. 用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）•…•（n+n）=2ⁿ•1•3•…•（2n﹣1）”，当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为（　　）

A、2k+1 B、2（2k+1） C、 $\frac{2 k + 1}{k + 1}$ D、 $\frac{2 k + 3}{k + 1}$

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7. 如果执行程序框图，且输入n=6，m=4，则输出的p=（）

A、240 B、120 C、720 D、360

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8. 已知sin（a+ $\frac{π}{6}$ ）= $\frac{1}{3}$ ，则cos（2a﹣ $\frac{2 π}{3}$ ）的值是（　　）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、- $\frac{1}{3}$ D、- $\frac{7}{9}$

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9. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（　　）种．

A、27 B、30 C、33 D、36

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10. 当实数x，y满足 $\{\begin{matrix} x + 2 y - 4 \leq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \\ x \geq 1 \end{matrix}$ 时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围（　　）

A、[1， $\frac{3}{2}$ ] B、[﹣1，2] C、[﹣2，3] D、[1， $\frac{3}{2}$ ）

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11. 已知函数f₁（x）= $\frac{l g (1 - x^{2})}{| x^{2} - 2 | - 2}$ ；f₂（x）=（x﹣1）• $\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}$ ；f₃（x）=log_a（x+ $\sqrt{x^{2} + 1}$ ），（a＞0，a≠1）；f₄（x）=x•（ $\frac{1}{2^{x} - 1} + \frac{1}{2}$ ），（x≠0），下面关于这四个函数奇偶性的判断正确的是（　　）

A、都是偶函数 B、一个奇函数，一个偶函数，两个非奇非偶函数 C、一个奇函数，两个偶函数，一个非奇非偶函数 D、一个奇函数，三个偶函数

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12. 若过点A（2，m）可作函数f（x）=x³﹣3x对应曲线的三条切线，则实数m的取值范围（　　）

A、[﹣2，6] B、（﹣6，1） C、（﹣6，2） D、（﹣4，2）

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二、填空题

13. 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ²）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（﹣∞，2]内取值的概率为．

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14. （1+x）（1﹣x）⁵展开式中x⁴的系数是（用数字作答）．

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15. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，则A的大小是

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16.
如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC= $\sqrt{3}$ ，则球O的体积等于

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三、解答题

17. 已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=a（a＞0），该数列的前n项和为S_n ，且 $\frac{1}{a_{1}}$ ， $\frac{1}{a_{2}}$ ， $\frac{1}{a_{4}}$ 成等比数列．
求数列{a_n}的通项公式及S_n；

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18.
如图，在Rt△ACD中，AH⊥CD，H为垂足，CD=4，AD=2 $\sqrt{3}$ ， ∠CAD=90°，以CD为轴，将△ACD按逆时针方向旋转90°到△BCD位置，E为AD中点；
证明：AB⊥CD．

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19. 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是 $\frac{2}{5}$ ；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 $\frac{7}{9}$ ．
（Ⅰ）若袋中共有10个球，
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于 $\frac{7}{10}$ ．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x+3）²+（y﹣1）²=4和圆C₂：（x﹣4）²+（y﹣5）²=4
若直线l过点A（4，0），且被圆C₁截得的弦长为2 $\sqrt{3}$ ，求直线l的方程

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21. 已知函数f（x）= $\frac{1}{2}$ ax²﹣（a²+1）x+alnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在[ $\frac{1}{e}$ ， e]上单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a $\in (0, \frac{3}{5})$ 时，求f（x）在[1，2]上的最大值和最小值．（注意：ln2＜0.7）

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22.
如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．
（1）求证：BA•DC=GC•AD；
（2）求BM．

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23. 已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = 1 + \frac{t}{2} \\ y = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ (t为参数）．
（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换 $\{\begin{matrix} x' = 2 x \\ y' = y \end{matrix}$ 得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求x+2 $\sqrt{3}$ y的最小值．

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24. 已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞）， $\frac{1}{a}$ + $\frac{4}{b}$ ≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，
（Ⅰ）求 $\frac{1}{a}$ + $\frac{4}{b}$ 的最小值；
（Ⅱ）求x的取值范围．

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