天津市南开区2020-2021学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x - 3 \leq 0, x \in N}$ ， $B = {0, 2, 4, 6}$ ，则 $∁_{A \cup B} (A \cap B)$ 等于（）

A、 ${1, 3, 4, 6}$ B、 ${0, 1, 3, 4, 6}$ C、 ${0, 2}$ D、{2}

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2. “ $m^{2} < n^{2}$ ”是“ $\ln m < \ln n$ ”（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 函数 $f (x) = \frac{1}{x - 1} + \log_{2} (2 x - x^{2})$ 的定义域为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1) \cup (1, 2)$ D、 $(0, 1) \cup (1, 2)$

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{3} \cdot a_{5} = 4 a_{6}^{2}$ ，则 $a_{3}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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5. 函数 $y = sin 2 x$ 的图像经过怎样的平移变换得到函数 $y = sin (\frac{π}{3} - 2 x)$ 的图像（）

A、向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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6. 已知圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y + a = 0$ 截直线 $x + y + 2 = 0$ 所得弦的长度为4，则实数a的值是（ $)$

A、-2 B、-4 C、-6 D、-8

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7. 已知函数 $f (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 1})$ ，且 $a = f ({0.2}^{0.2})$ ， $b = f (\log_{3} 4)$ ， $c = f (\log_{\frac{1}{3}} 3)$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c < a < b$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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8. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 6 x$ 的焦点为 $F$ ， $A$ 为 $C$ 上一点且在第一象限，以 $F$ 为圆心， $F A$ 为半径的圆交 $C$ 的准线于 $M$ ， $N$ 两点，且 $A$ ， $F$ ， $M$ 三点共线，则 $| A F | =$ （）

A、12 B、9 C、6 D、3

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9. 已知 $a \in$ $R$ ，若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - | x - 2 a |$ 有三个或者四个零点，则函数 $g (x) = a x^{2} + 4 x + 1$ 的零点个数为（）

A、1或2 B、2 C、1或0 D、0或1或2

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二、填空题

10. 已知复数 $z = \frac{5 i}{2 - i} + 5 i$ ，则 $| z | =$ .

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11. 曲线 $f (x) = \frac{1}{x} + \ln \frac{1}{x}$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程是.

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12. 已知如图所示的多面体 $E F - A B C D$ 中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD＝ $\frac{π}{3}$ .若BF＝BD＝2，则多面体的体积．

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13. 已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $a b = 1$ ，则 $\frac{a + 1}{b} + \frac{b + 1}{a}$ 的最小值为.

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14. 已知双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ ，则此双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为．

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15. 如图，在边长1为正方形 $A B C D$ 中， $M$ ， $N$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 的中点，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A C} =$ ，若 $\vec{A C} = λ \vec{A M} + μ \vec{B N}$ ，则 $λ + μ =$ .

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b - c = 1$ ， $\cos A = \frac{1}{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

(2)、求 $\cos (2 C + A)$ 的值.

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17. 如图，直二面角 $D - A B - E$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $A E = E B$ ， $F$ 为 $C E$ 上的点，且 $B F ⊥$ 平面 $A C E$ .

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $B C E$ ；

(2)、求二面角 $B - A C - E$ 的正弦值；

(3)、求点 $D$ 到平面 $A C E$ 的距离.

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18. 已知点F为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k₁和k₂ ，求证：k₁•k₂＝e²﹣1（e为椭圆的离心率）.

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} - n + 1$ ， $2 a_{1}$ ， $a_{1} + a_{2} + a_{3}$ 分别是等比数列 ${b_{n}}$ 的首项和第二项.

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和；

(3)、求 $\sum_{i = 1}^{n} a_{2 i - 1} b_{i} (n \in N^{*})$ .

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20. 已知函数 $f (x) = x \ln x - 1$ ， $g (x) = a x^{2} - (a - 2) x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、设函数 $h (x) = f^{'} (x) - g (x)$ ，讨论 $h (x)$ 的单调性；

(3)、设函数 $G (x) = g (x) + (a - 2) x$ ，若函数 $f (x)$ 的图像与 $G (x)$ 的图像有 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两个不同的交点，证明： $\ln (x_{1} x_{2}) > 2 + \ln 2$ .

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