天津市河西区2020-2021学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $I = {x | - 3 < x < 3 ， x \in Z}$ ， $A = {1 ， 2}$ ， $B = {- 2 ， 0 ， 2}$ ，则 $A \cup (C_{I} B) =$ （）

A、{1} B、 ${- 1 ， 1 ， 2}$ C、 ${2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知命题 $p ： \exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 3 < 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 3 > 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 3 \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 3 > 0$

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3. 某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n等于（）

A、35 B、45 C、54 D、63

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4. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + x + a$ ( $a$ 为常数)，则 $f (a) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、-2

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5. 设 $a = 2^{\ln 2}$ ， $b = - \log_{\frac{1}{2}} 4$ ， $c = \log_{3} 2$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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6. 已知正方体的体积是 $8$ ，则这个正方体的外接球的体积是（）

A、 $2 \sqrt{3} π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $8 \sqrt{3} π$

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7. 将函数 $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$ 的图像沿 $x$ 轴向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，所得函数的图象关于 $y$ 轴对称，则 $m$ 的最小值是（）

A、 $- \frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{12}$ C、 $- \frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{6}$

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左顶点与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 $(- 2 ， - 1)$ ，则双曲线的焦距为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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9. 在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $C D = A D = 1$ ，若点 $M$ 在线段 $B D$ 上，则 $\vec{A M} \cdot \vec{C M}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{9}{20}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{9}{20}$

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二、填空题

10. 设 $a \in R$ ，若 $\frac{a}{1 + i} + 1 + i$ 是实数，则 $a =$ ．

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11. 二项式 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中的常数项为.

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12. 过点 $(- \sqrt{3} ， 1)$ 的直线l与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切，则直线l在y轴上的截距为．

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13. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $\frac{3}{a + 2} + \frac{3}{b + 2} = 1$ ，则a+2b的最小值为.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 4 x ， - 3 \leq x \leq 0 \\ 2 x - 3 ， x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) + | x - 2 | - k x = 0$ 有且只有三个不相等的实数解，则实数k的取值范围是.

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15. 一袋中装有6个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 $\frac{4}{5}$ ，则袋中白球的个数为；从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X的数学期望为.

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，满足 $\frac{b}{a + c} = 1 - \frac{\sin C}{\sin A + \sin B}$ .

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、若 $a = 3$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，求 $\sin (2 B + A)$ 的值.

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17. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面为菱形， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $A B = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $C D$ ， $A A_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $D F ∥$ 平面 $B_{1} A E$ ；

（Ⅱ）若直线 $A D_{1}$ 与平面 $B_{1} A E$ 所成角的正弦值为 $\frac{3}{4}$ ，求 $A A_{1}$ 的长；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角 $B_{1} - A E - D_{1}$ 的正弦值．

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18. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为d，d为整数，前n项和为 $S_{n}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的公比为q，已知 $a_{1} = b_{1}$ ， $b_{2} = 2$ ， $d = q$ ， $S_{10} = 100$ ， $n \in N^{*}$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ .

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的上顶点，点F为椭圆的左焦点，且 $Δ F A B$ 的面积是 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线 $x = m y + 1$ 与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为 $P_{1}$ （ $P_{1}$ 与 $Q$ 不重合），则直线 $P_{1} Q$ 与x轴交于点H，求 $Δ P Q H$ 面积的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} (\sin x - \cos x + 4)$ ，函数 $g (x) = 2 x - \cos x$ ，其中 $e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数.

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、设函数 $h (x) = f (x) - a g (x)$ ( $a \in$ $R$ )，讨论 $h (x)$ 的单调性；

(3)、若对任意 $x \in [0 ， \frac{5 π}{12}]$ ，恒有关于 $x$ 的不等式 $\cos x - \frac{x + m}{e^{x}} \leq 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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