天津市河北区2020-2021学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-01-26 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，集合 $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {2, 5, 6}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、{4} B、 ${1, 3}$ C、 ${1, 2, 3, 4}$ D、 ${1, 3, 4, 5, 6}$

查看试题解析
2. 设 $a \in R$ ，则“ $(a + 1) (a - 1) < 0$ ”是“ $a > - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
3. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 13 = 0$ 的圆心到直线 $a x + y - 1 = 0$ 的距离为1，则a=（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

查看试题解析
4. 某班全体学生参加一次测试，将所得分数依次分组： $[20 ， 40)$ ， $[40 ， 60)$ ， $[60 ， 80)$ ， $[80 ， 100]$ ，绘制出如图所示的成绩频率分布直方图，若低于60分的人数是18，则该班的学生人数是（）

A、50 B、54 C、60 D、64

查看试题解析
5. 函数 $f (x) = \frac{e x}{1 - x^{2}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线过点 $(3, 4)$ ，且双曲线的一个焦点与抛物线 $y^{2} = 20 x$ 的焦点重合，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

查看试题解析
7. 设 $a = {(\frac{1}{2})}^{0.2}$ ， $b = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ， $c = 2^{- 0.3}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $b > a > c$

查看试题解析
8. 将函数 $f (x) = cos (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ （）

A、为奇函数，在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递減 B、最大值为1，图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、周期为 $π$ ，图象关于点 $(\frac{3 π}{8} ， 0)$ 对称 D、为偶函数，在 $(- \frac{3 π}{8} ， \frac{π}{8})$ 上单调递增

查看试题解析
9. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 2 m x + 6 ， x < m ， \\ x^{2} ， x \geq m ， \end{matrix}$ 其中 $m < 0$ .若存在实数 $k$ ，使得函数 $g (x) = f (x) - k$ 有三个零点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 3)$ B、 $(- \infty ， - \sqrt{3})$ C、 $[- 3 ， - 0)$ D、 $(- \sqrt{3} ， 0)$

查看试题解析

二、填空题

10. i是虚数单位，则复数 $\frac{2 i}{1 + i} =$ .

查看试题解析
11. 二项式 ${(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为.

查看试题解析
12. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{b + 2} = \frac{1}{6}$ ，则 $a + b$ 的最小值为.

查看试题解析
13. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 的中点，E在边 $A B$ 上，且 $B E = 2 E A$ ，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 3 \vec{A D} \cdot \vec{E C}$ ，则 $\frac{A B}{A C}$ 的值为.

查看试题解析
14. 四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB ， AC ， AD两两垂直，且 $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $A D = 3$ ，则四面体ABCD的体积为，球O的表面积为

查看试题解析
15. 一个袋子中有形状和大小完全相同的3个白球与2个黑球，每次从中取出一个球，取到白球得2分，取到黑球得3分.甲从袋子中有放回地依次取出3个球，则甲三次都取到白球的概率为，甲总得分是7的概率为.

查看试题解析

三、解答题

16. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $\sqrt{3} a \cos B = b \sin A$

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $\cos A = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $\sin (2 A - B)$ 的值；

(3)、若 $b = 2$ ， $c = 2 a$ ，求边a的值.

查看试题解析
17. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形，点P为侧棱 $C C_{1}$ 上的一点，且 $A A_{1} = 3 A B = 3$ .

(1)、若点P为 $C C_{1}$ 的中点，求证： $A C_{1} //$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $\frac{P C}{C C_{1}} = \frac{1}{3}$ ，求直线 $A_{1} P$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；

(3)、若二面角 $B - P D - C$ 的余弦值为 $\frac{2}{3}$ ，求 $P C$ 的长.

查看试题解析
18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为正数. $a_{1} = 1$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列， $b_{1} = 2$ ，且 $b_{2} S_{2} = 12$ ， $b_{2} + S_{3} = 10$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

(3)、设 $c_{n} = b_{n} + \frac{1}{S_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前2n项和.

查看试题解析
19. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的两个顶点分别为点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作 $A M$ 的垂线交 $B N$ 于点E.证明： $△ B D E$ 与 $△ B D N$ 的面积之比为定值.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = a \ln x + x^{2} - (a + 2) x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线的斜率为1，求a的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 在区间 $(1 ， e)$ 上存在零点，证明：当 $x \in (1 ， e)$ 时， $f (x) > - e^{2}$ .

查看试题解析