天津市和平区2020-2021学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ， $A = {0}$ ， $B = {x | x^{2} + x - 2 < 0}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）．

A、{-1} B、{1} C、 ${- 1, 1, 2}$ D、 ${- 2, - 1, 1}$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $\frac{1}{x} < 1$ ”是“ ${(\frac{1}{2})}^{x} > 1$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件． C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = \frac{2 \sin x}{e^{x} + e^{- x}}$ 在 $[- π ， π]$ 的大致图象是（）．

A、 B、 C、 D、

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4. 已知某校一次数学测验所有学生得分都在 $[80 ， 150]$ 内，根据学生得分情况绘制的频率分布直方图如图所示，则图中a的值是（）．

A、0.015 B、0.020 C、0.030 D、0.040

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5. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有顶点都在球O的表面上，若球 $O$ 的体积为 $36 π$ ，则正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为（）．

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $12 \sqrt{3}$ D、 $24 \sqrt{3}$

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6. 设 $a = {(\frac{1}{3})}^{- 0.8}$ ， $b = 3^{0.9}$ ， $c = \log_{0.7}^{0.8}$ ，则a，b，c的大小关系为（）．

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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7. 已知抛物线 $\frac{1}{20} x^{2} = y$ 的焦点 $F$ 与双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一个焦点重合，且点 $F$ 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{41} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{41} - \frac{x^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{16} = 1$

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8. 设函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ ， $x \in R$ ，其中 $ω > 0$ ， $| φ | < π$ .若 $f (\frac{5 π}{8}) = 2$ ， $f (\frac{11 π}{8}) = 0$ ，且 $f (x)$ 的最小正周期大于 $2 π$ ，则（）

A、 $ω = \frac{2}{3}$ ， $φ = \frac{π}{12}$ B、 $ω = \frac{2}{3}$ ， $φ = - \frac{11 π}{12}$ C、 $ω = \frac{1}{3}$ ， $φ = - \frac{11 π}{24}$ D、 $ω = \frac{1}{3}$ ， $φ = \frac{7 π}{24}$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} k (x + 3), x < 0 \\ x^{2} - 2 k, x ⩾ 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (- x) + f (x)$ 有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）．

A、 $(- \infty, - 4)$ B、 $(4, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$ D、 $(- \infty, 4) \cup (4, + \infty)$

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二、填空题

10. 已知i是虚数单位，则 $\frac{5 + 3 i}{1 - i} =$ ．

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11. 二项式 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中常数项为.

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12. 已知圆 $C$ 的圆心在 $x$ 轴的正半轴上，且圆心到直线 $2 x - y = 0$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，若点 $M (0, \sqrt{3})$ 在圆 $C$ 上，则圆 $C$ 的方程为．

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13. 现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为．

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14. 已知 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $\frac{1}{m + 2} + \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{3}$ ，则 $m + 2 n$ 的最小值为.

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15. 在菱形ABCD中， $∠ B A D = \frac{2 π}{3}$ ， $A B = 2$ ，点M，N分别为BC，CD边上的点，且满足 $\frac{| \vec{B M} |}{| \vec{B C} |} = \frac{| \vec{C N} |}{| \vec{C D} |}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的最小值为．

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $a \sin A = 4 b \sin B$ ， $a c = \sqrt{3} (a^{2} - b^{2} - c^{2})$ ．

(1)、求 $\cos A$ 的值；

(2)、求 $\sin (2 B + A)$ 的值．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B C / / A D$ ，点 $M$ 是棱 $P D$ 上一点，且 $A B = B C = 2$ ， $A D = P A = 4$ ．

(1)、若 $P M ： M D = 1 ： 2$ ，求证： $P B / /$ 平面 $A C M$ ；

(2)、求二面角 $A - C D - P$ 的正弦值；

(3)、若直线 $A M$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $M D$ 的长．

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为 $2 \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 经过点 $A (- a ， 0)$ ，且直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于点 $P$ （ $P$ 不在 $x$ 轴上），若点 $Q$ 在 $y$ 轴的负半轴上， $△ A P Q$ 是等边三角形，求 $k$ 的值．

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19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} - a_{2} = 10$ ， $a_{1} a_{2} a_{3} = 125$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ，且 $b_{1} + \frac{b_{2}}{2} + \frac{b_{3}}{3} + \dots + \frac{b_{n}}{n} = b_{n + 1} - 1 (n \in N^{*})$ ，
①求 ${b_{n}}$ 的通项公式：

②求 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{2 i - 1}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 a x - 1$ ， $g (x) = 2 a \ln (x + 1)$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若对于任意 $x \in [0 ， + \infty)$ ， $f (x) + g (x) \geq x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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