天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，集合 $A = {3, 5}$ ， $B = {1, 2, 5}$ ，则 $B \cap (∁_{U} A) =$ （）

A、{2} B、 ${1, 2}$ C、 ${2, 4}$ D、 ${1, 2, 4}$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $| x - 1 | > 2$ ”是“ $x^{2} > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数 $f (x) = \frac{x (e^{- x} + e^{x})}{2 + \cos x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神、看过电影“夺冠”后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，现随机抽取800个学生进行体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据分成六组 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ … $[90 ， 100]$ ，则成绩落在 $[70 ， 80)$ 上的人数为（）

A、12 B、120 C、24 D、240

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5. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，三棱锥 $A - B_{1} C D_{1}$ 的表面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则正方体外接球的体积为（）

A、 $4 \sqrt{3} π$ B、 $\sqrt{6} π$ C、 $32 \sqrt{3} π$ D、 $8 \sqrt{6} π$

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6. 已知函数 $f (x) = e^{- | x |}$ ， $a = f (\log_{e} \frac{1}{3})$ ， $b = f (\log_{3} \frac{1}{e})$ ， $c = f (\log_{\frac{1}{e}} \frac{1}{9})$ ，则下述关系式正确的是（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

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7. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M (1, m)$ 到其焦点的距离为5，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左顶点为A且离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，若双曲线的一条渐近线与直线 $A M$ 垂直，则双曲线的方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ C、 $x^{2} - 2 y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - 4 y^{2} = 1$

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8. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos 2 x + 2 \sin x \cos x$ ，给出下列结论：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ② $y = f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称③ $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 单调递减④把函数 $y = 2 \cos 2 x$ 的图象上所有点向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 的图象.其中所有正确结论的编号是（）.

A、①④ B、②④ C、①②④ D、①②③

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 + \log_{a} (x + 2) ， x \geq - 1 \\ {(x + 1)}^{2} + 4 a ， x < - 1 \end{array}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）在区间 $(- \infty ， + \infty)$ 上为单调函数，若函数 $g (x) = | f (x) | - | x - 2 |$ 有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{2}]$ B、 $(\frac{1}{4} ， \frac{3}{4}]$ C、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{2}] \cup {\frac{13}{16}}$ D、 $[\frac{1}{4} ， \frac{3}{4}] \cup {\frac{13}{16}}$

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二、填空题

10. 已知复数 $z = \frac{1 + 3 i}{1 - i}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $| z |$ ．

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11. 在二项式 ${(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{9}$ 的展开式中，含 $x^{6}$ 的项的系数为.

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12. 已知直线 $l : y = x + m$ 被圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 1 = 0$ 截得的弦长等于该圆的半径，则实数 $m =$ .

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13. 已知正实数a，b满足 $\lg (a + b) = \lg \frac{2 b}{a} + \lg \frac{a}{b}$ ，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{2 b} + \frac{a}{b}$ 的最小值为.

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14. 为了抗击新冠肺炎疫情，现从A医院150人和B医院100人中，按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B医院至少有一人的概率是.设两名联络人中B医院的人数为X，则X的期望为.

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15. 已知平行四边形 $A B C D$ 的两条对角线相交于点 $M$ ， $| \vec{A B} | = 2$ ， $| \vec{A D} | = 1$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，其中点 $P$ 在线段 $M D$ 上且满足 $\vec{A P} \cdot \vec{C P} = - \frac{25}{16}$ ， $| \vec{D P} | =$ ，若点 $N$ 是线段 $A B$ 上的动点，则 $\vec{N D} \cdot \vec{N P}$ 的最小值为.

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三、解答题

16. $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b - c = 1$ ， $\cos A = \frac{2}{3}$ ， $S_{△ A B C} = \sqrt{5}$ .
（Ⅰ）求边a及 $\sin B$ 的值；

（Ⅱ）求 $\cos (2 C - \frac{π}{6})$ 的值.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D ∥ B C$ ， $B C = \frac{1}{2} A D = 1$ 且 $C D = \sqrt{3}$ ，E为 $A D$ 的中点，F是棱 $P A$ 的中点， $P A = 2$ ， $P E ⊥$ 底面 $A B C D$ . $A D ⊥ C D$

（Ⅰ）证明： $B F //$ 平面 $P C D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $P - B D - F$ 的正弦值；

（Ⅲ）在线段 $P C$ （不含端点）上是否存在一点M，使得直线 $B M$ 和平面 $B D F$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{39}}{13}$ ？若存在，求出此时 $P M$ 的长；若不存在，说明理由.

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18. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆E的左、右焦点，M为E上任意一点， $S_{△ F_{1} M F_{2}}$ 的最大值为1，椭圆右顶点为A.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若过A的直线l交椭圆于另一点B，过B作x轴的垂线交椭圆于C（C异于B点），连接 $A C$ 交y轴于点P.如果 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \frac{1}{2}$ 时，求直线l的方程.

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19. 设 ${a_{n}}$ 是等比数列，公比大于0， ${b_{n}}$ 是等差数列， $(n \in N^{*})$ .已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = a_{2} + 2$ ， $a_{4} = b_{3} + b_{5}$ ， $a_{5} = b_{4} + 2 b_{6}$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{1} = c_{2} = 1$ ， $c_{n} = {\begin{array}{l} 1 ， 3^{k} < n < 3^{k + 1} \\ a_{k} ， n = 3^{k} \end{array}$ ，其中 $k \in N^{*}$

（i）求数列 ${b_{3^{n}} (c_{3^{n}} - 1)}$ 的通项公式；

（ii）若 ${\frac{n a_{n}}{(n + 1) (n + 2)}} (n \in N^{*})$ 的前n项和 $T_{n}$ ，求 $T_{3 n} + \sum_{i = 1}^{3^{n}} b_{i} c_{i} (n \in N^{*})$ .

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20. 已知函数 $f (x) = x - 2 - \ln^{2} x - a \ln x$ .（ $a \in R$ ）
（Ⅰ）令 $g (x) = x f^{'} (x)$ ，讨论 $g (x)$ 的单调性并求极值；

（Ⅱ）令 $h (x) = f (x) + 2 + \ln^{2} x$ ，若 $h (x)$ 有两个零点；

（i）求a的取值范围；

（ii）若方程 $x e^{x} - a (\ln x + x) = 0$ 有两个实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，证明： $e^{x_{1} + x_{2}} > \frac{e^{2}}{x_{1} x_{2}}$

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