江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x ∣ x^{2} - 4 < 0}$ ， $B = {x ∣ \lg x < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 2)$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $| x | < 1$ ”是“ $x^{3} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若复数 $z = 2 - i$ ，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）

A、z的虚部为 $- i$ B、 $| z | = 5$ C、 $\bar{z} = - 2 - i$ D、 $z^{2} = 3 - 4 i$

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4. 人的血压在不断地变化，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的度数就是收缩压和舒张压，度数 $120 / 80 m m H g$ 为标准值.设甲某的血压满足函数式 $p (t) = 102 + 24 \sin (160 π t)$ ，其中 $p (t)$ 为血压（单位： $m m H g$ ）， $t$ 为时间（单位： $\min$ ），对于甲某而言，下列说法正确的是（）

A、收缩压和舒张压均高于相应的标准值 B、收缩压和舒张压均低于相应的标准值 C、收缩压高于标准值､舒张压低于标准值 D、收缩压低于标准值､舒张压高于标准值

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5. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为（）

A、 $S = \frac{27}{8} d^{2}$ B、 $S = \frac{27}{2} d^{2}$ C、 $S = \frac{9}{2} d^{2}$ D、 $S = \frac{11}{14} d^{2}$

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6. 已知向量 $\vec{A B} = (1, 2)$ ， $\vec{A C} = (\cos θ, \sin θ)$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、1

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7. 已知 $x = \log_{0.1} 5$ ， $y = \log_{7} \sqrt{5}$ ，则（）

A、 $x + y < x y < 0$ B、 $x y < x + y < 0$ C、 $x + y < 0 < x y$ D、 $x y < 0 < x + y$

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8. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (x - 6)$ ，且当 $0 \leq x < 3$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} a + \log_{\sqrt{2}} (x + 1), 0 \leq x \leq 1 \\ 2 {(x - 2)}^{2}, 1 < x < 3 \end{array}$ ，其中a为常数，则 $f (2019) + f (2020) + f (2021)$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 已知抛物线 $Γ : x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，过F与y轴垂直的直线交抛物线 $Γ$ 于点M，N，则下列说法正确的有（）

A、点F坐标为 $(1, 0)$ B、抛物线 $Γ$ 的准线方程为 $y = - 1$ C、线段MN长为4 D、直线 $y = x - 2$ 与抛物线 $Γ$ 相切

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (\cos x)$ ，则下列关于该函数性质说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 的一个周期是 $2 π$ B、 $f (x)$ 的值域是 $[- 1 ， 1]$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(π ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上单调递减

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11. 引入平面向量之间的一种新运算“ $\otimes$ ”如下：对任意的向量 $\vec{m} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{n} = (x_{2}, y_{2})$ ，规定 $\vec{m} \otimes \vec{n} = x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}$ ，则对于任意的向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，下列说法正确的有（）

A、 $\vec{a} \otimes \vec{b} = \vec{b} \otimes \vec{a}$ B、 $(λ \vec{a}) \otimes \vec{b} = λ (\vec{a} \otimes \vec{b})$ C、 $\vec{a} \cdot (\vec{b} \otimes \vec{c}) = (\vec{a} \otimes \vec{b}) \cdot \vec{c}$ D、 $| \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \geq | \vec{a} \otimes \vec{b} |$

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12. 已知 ${(1 + x + x^{2})}^{n} = T_{n}^{0} + T_{n}^{1} x + T_{n}^{2} x^{2} + \dots + T_{n}^{2 n} x^{2 n}$ ， $n \in N^{*}$ ，其中 $T_{n}^{i}$ 为 ${(1 + x + x^{2})}^{n}$ 展开式中 $x^{i}$ 项系数， $i = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 2 n$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $T_{7}^{i} = T_{7}^{14 - i}$ ， $i = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 14$ B、 $T_{7}^{2} + T_{7}^{3} = T_{8}^{3}$ C、 $\sum_{i = 1}^{14} T_{7}^{i} = 2 \sum_{i = 0}^{6} 3^{i}$ D、 $T_{7}^{7}$ 是 $T_{7}^{0}$ ， $T_{7}^{1}$ ， $T_{7}^{2}$ ，…， $T_{7}^{14}$ 是最大值

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = e^{x} + x$ (其中e为自然对数的底数)的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为.

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14. 党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作.若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为.

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $Γ : x^{2} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{2}$ 为圆心， $F_{1} F_{2}$ 长为半径的圆与双曲线 $Γ$ 的一条渐近线交于M，N两点，若 $| O M | \geq | O N |$ ，则 $\frac{| O M |}{| O N |}$ 的值为.

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16. 已知随机变量X有三个不同的取值，分别是0，1，x，其中 $x \in (0, 1)$ ，又 $P (X = 0) = \frac{1}{2}$ ， $P (X = 1) = \frac{1}{4}$ ，则当 $x =$ 时，随机变量X的方差的最小值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 $a \cos C$ ， $b \cos B$ ， $c \cos A$ 成等差数列.

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $\cos A = \frac{4}{5}$ ，求 $\sin C$ 的值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} = \frac{n (n - 1)}{2}$ ，各项均为正数的等比数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ， ▲ ，且 $b_{3} = 4$ .
在① $T_{2} = 3$ ；② $T_{3} = 7$ ；③ $b_{4} - b_{3} = 2 b_{2}$ 这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 的前n项和为 $A_{n}$ ，求证： $A_{n} < 2$ .
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

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19. 如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是边长为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形， $A_{1} A = 2$ ，点 $A_{1}$ 在下底面上的射影是 $△ A B C$ 的中心O.

(1)、求证：平面 $A_{1} A O ⊥$ 平面 $B C C_{1} B$ ；

(2)、求二面角 $C_{1} - A B - C$ 的余弦值.

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20. 2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲､乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具质监部门随机抽检了两个厂的各100件玩具，在抽取中的200件玩具中，根据检测结果将它们分成“A”､“B”､“C”三个等级，A､B等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如下表所示：

等级	A	B	C
频数	20	120	60

(表一)

厂家	合格品	次品	合计
甲	75
乙		35
合计

(表二)

在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销.

附： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (x^{2} \geq x_{0})$	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{0}$	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表(表二)，并判断是否有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关？

(2)、每件玩具的生产成本为30元，A､B等级产品的出厂单价分别为60元､40元.另外已知每件次品的销毁费用为4元.若甲厂抽检的玩具中有10件为A等级，用样本的频率估计概率，试判断甲､乙两厂能否都能盈利，并说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} a x^{2} - 2 x$ 的两个极值点(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)分别为 $x_{1}$ ､ $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .

(1)、证明：函数 $f (x)$ 有三个零点；

(2)、当 $x \in [m ， + \infty)$ 时，对任意的实数a， $f (x_{2})$ 总是函数 $f (x)$ 的最小值，求整数m的最小值.

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22. 如图，已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C，D在椭圆 $Γ$ 上，点D在第一象限.CB的延长线交椭圆 $Γ$ 于点E，直线AE与椭圆 $Γ$ ､y轴分别交于点F､G，直线CG交椭圆 $Γ$ 于点H，DA的延长线交FH于点M.

(1)、设直线AE､CG的斜率分别为 $k_{1}$ ､ $k_{2}$ ，求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；

(2)、求直线FH的斜率k的最小值；

(3)、证明：动点M在一个定曲线上运动.

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