河北省邯郸市2021届高三上学期数学期末质量检测试卷

试卷更新日期：2021-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R, A = {x ∣ x^{2} - 4 x - 21 > 0}, B = {x \in N ∣ x > 3}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ 3 < x ⩽ 7}$ B、 ${x ∣ - 3 ⩽ x ⩽ 3}$ C、 ${4.5, 6}$ D、 ${4, 5, 6, 7}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (x, 2), \vec{b} = (3, x^{2})$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $x =$ （）

A、1或4 B、1或-4 C、-1或4 D、-1或-4

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3. 宋元两代是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶､李治､杨辉､朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.现有古数学著作《数书九章》《测圆海镜》《益古演段》《详解九章算法》《杨辉算法》《算学启蒙》《四元玉鉴》共七本，从中任取两本，至少含有一本秦九韶或杨辉的著作的概率是（）

A、 $\frac{5}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{2}{7}$

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4. 某中学为了调查该校学生对于新冠肺炎防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎防控知识竞赛，并从该学校1500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（）

A、360 B、420 C、480 D、540

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5. 已知 $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (x) = g (x) + x^{2}$ ，若 $f (a) = 2, f (- a) = 2 a + 2$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、-1 C、2或-1 D、2或1

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6. 已知函数 $f (x)$ 的周期为 $4 π$ ，且 $f (ω x) = \sin (x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，则 $f (\frac{π}{3})$ 的值与下列哪个函数值相等（）

A、 $f (\frac{π}{6})$ B、 $f (\frac{π}{2})$ C、 $f (π)$ D、 $f (\frac{2 π}{3})$

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7. 设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点，过点 $F_{2}$ 的直线交双曲线的右支于 $A, B$ 两点，若 $| A F_{2} | = 3 | B F_{2} |$ ，且 $\cos ∠ F_{1} A F_{2} = \frac{4}{5}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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8. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的三条侧棱两两垂直，且 $P A, P B, P C$ 的长分别为 $a, b, c$ ，又 ${(a + b)}^{2} c = 16 \sqrt{2}$ ，侧面 $P A B$ 与底面 $A B C$ 成 $45^{°}$ 角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（）

A、10π B、40π C、20π D、18π

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二、多选题

9. 已知复数 $z (1 + 2 i) = 5 i$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| z | = \sqrt{5}$ B、复数 $z$ 在复平面内对应的点在第二象限 C、 $\bar{z} = - 2 + i$ D、 $z^{2} = 3 + 4 i$

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10. 设 $0 < a < b < 1, 0 < c < 1$ ，则（）

A、 $\ln (c^{a} + 1) > \ln (c^{b} + 1)$ B、 ${(c + 1)}^{a} < {(c + 1)}^{b}$ C、 $a^{b} > a^{a} > b^{a}$ D、 $\log_{c} a < \log_{c} b$

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11. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 为正三角形，侧棱垂直于底面， $E$ 是 $A B$ 的中点， $O$ 是 $B C_{1}$ 的中点.给出下列结论正确的是（）

A、若 $P$ 是 $A C_{1}$ 上的动点，则 $O P$ 与 $A_{1} B_{1}$ 异面 B、 $A C_{1} / /$ 平面 $B_{1} C E$ C、若该三棱柱有内切球，则 $A B ： A A_{1} = 1 ： \sqrt{3}$ D、若该三棱柱所有棱长均相等､则侧面对角线与棱成45°角的共有30对

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $4^{a_{n + 1}} - 2^{a_{n + 1} + λ a_{n}} - 4^{λ a_{n} + μ} = 0, a_{1} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $λ = 1, μ = \frac{1}{2}$ ，则 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、若 $λ = 1, μ = \frac{1}{2}$ ，则数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{n}{n + 1}$ C、若 $λ = 2, μ = \frac{1}{2}$ ，则 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列 D、若 $λ = 2, μ = \frac{1}{2}$ ，则 $S_{n} = 2^{n + 1} - n - 2$

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三、填空题

13. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} + a_{9} = m - 2 a_{4}, S_{9} = 36$ ，则 $m =$ .

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14. 已知 ${(a x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中的常数项为60，则 $a =$ .

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15. 抛物线 $y^{2} = 2 \sqrt{3} x$ 上在第一象限有一点 $P, P$ 在准线上的射影为 $Q$ ，焦点为 $F, △ P Q F$ 为正三角形，则 $△ P Q F$ 的外接圆的标准方程是.

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16. 已知 $n$ 是正整数， $f (x) = 1 + \tan^{2 n} x - \frac{1}{500 \cos^{2 n} x}$ 有零点，则 $n$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 在① $8 \sin^{2} \frac{B}{2}$ ；② $\frac{1}{2} \cos^{2} \frac{B}{2}$ ；③ $\frac{8}{15} \cos B$ 中任选一个填在试题中的横线上，并完成该试题的解答.试题：在 $△ A B C$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对边分别为 $a, b, c, b = 1, a + c = 3, \sin (A + C) =$ ▲ .求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是等腰梯形 $A B / / D C ， B C = C D = A D = 2 ， A B = 4 ， M ， N$ 分别是 $A B ， A D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P M N ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若二面角 $C - P N - D$ 的大小为60°，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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19. 某 $5 G$ 芯片生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100个新生产的 $5 G$ 芯片进行检测.若每块芯片的生产成本为1000元，一级品每个芯片可卖1500元，二级品每个芯片可卖900元，三级品禁止出厂且销毁.某日检测抽取的100个 $5 G$ 芯片的柱状图如图所示（用样本的频率代替概率）.

(1)、若该生产线每天生产2000个 $5 G$ 芯片，求出该生产线每天利润的平均值；

(2)、若从出厂的所有 $5 G$ 芯片中随机取出3个，求其中二级品 $5 G$ 芯片个数 $X$ 的分布列､期望与方差.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 4$ ，且 $b_{n + 1} = 3 b_{n} - 2$ .

(1)、求证数列 ${b_{n} - 1}$ 为等比数列，并求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求证： $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} < \frac{3}{4}$ .

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21. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 长轴的左､右端点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆 $E$ 上不同于 $A_{1}, A_{2}$ 的任意一点，点 $Q$ 满足 $\vec{Q A_{1}} \cdot \vec{P A_{1}} = 0$ ， $\vec{Q A_{2}} \cdot \vec{P A_{2}} = 0$ , $O$ 为坐标原点.

(1)、证明： $P A_{1}$ 与 $P A_{2}$ 的斜率之积为常数，并求出点 $Q$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l : y = x + m$ 与曲线 $C$ 交于 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ ，且 $x_{1} x_{2} + λ y_{1} y_{2} = 0$ ，当 $λ$ 为何值时 $△ O M N$ 的面积最大?

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{2 a (x - 1)}{x + 2 a - 1}$ （其中 $a > \frac{1}{2} ， a$ 为常数）.

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x)$ 有唯一的零点；

(2)、当 $x ⩾ 1$ 时，若不等式 $f (x) ⩾ 2 \ln 2 - \frac{3}{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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