天津市西青区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} \cdot a_{7} = 16$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

A、4 B、±8 C、±4 D、8

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2. 设平面 $α$ 的一个法向量为 $\overset{⇀}{n_{1}} = (1 ， 2 ， - 2)$ ，平面 $β$ 的一个法向量为 $\overset{⇀}{n_{2}} = (- 2 ， - 4 ， k)$ ，若 $α / / β$ ，则 $k =$ （）

A、2 B、-4 C、-2 D、4

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3. 已知直线 $x + a y - 1 = 0$ 和直线 $a x + 4 y + 2 = 0$ 互相平行，则 $a$ 的取值是（）

A、2 B、-2 C、±2 D、0

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4. 直线 $2 x - y + 2 = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 的位置关系为（）

A、相交且直线过圆心 B、相切 C、相离 D、相交且直线不过圆心

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5. 设数列｛ $a_{n}$ ｝的前n项和 $s_{n}$ = $n_{}^{2}$ ，则 $a_{8}$ 的值为（）

A、15 B、16 C、49 D、64

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6. 下列命题中正确的个数为（）
①直线 $3 x + 2 y - 1 = 0$ 的一个方向向量为 $(1, - \frac{3}{2})$ ②双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ③椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的长轴长为 $2$ ④圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的半径为 $\sqrt{5}$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $A D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ， $P$ 是 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则 $\vec{B_{1} C}$ 与 $\vec{A_{1} P}$ 所成角的大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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8. 三个实数 $8, m, 2$ 构成一个等比数列，则圆锥曲线 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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9. 2015年07月31日17时57分，国际奥委会第128次全会在吉隆坡举行，投票选出2022年冬奥会举办城市为北京.某人为了观看2022年北京冬季奥运会，从2016年起，每年的 $1$ 月 $1$ 日到银行存入 $a$ 元的定期储蓄，若年利率为 $p$ 且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2022年的1月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为（）

A、 $a {(1 + P)}^{6}$ B、 $a {(1 + P)}^{7}$ C、 $\frac{a}{P} [{(1 + P)}^{6} - (1 + P)]$ D、 $\frac{a}{P} [{(1 + P)}^{7} - (1 + P)]$

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二、填空题

10. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上的一点 $P$ 到椭圆一个焦点的距离为 $6$ ，则点 $P$ 到另一个焦点的距离为.

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11. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A$ ， $N$ 为 $B C$ 中点， ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，将 $\vec{M N}$ 用基底表示， $\vec{M N}$ =.

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12. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 6 = 0$ 关于直线 $l$ 对称，则直线 $l$ 方程.

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13. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $\frac{a_{6}}{a_{3}} = \frac{5}{11}$ ，则 $\frac{S_{11}}{S_{5}}$ =.

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14. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过点 $F$ 的直线与抛物线交于两点 $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ .
①抛物线 $y^{2} = 4 x$ 焦点到准线的距离为 $2$ ；

②若 $x_{1} + x_{2} = 6$ ，则 $| P Q | = 8$ ；

③ $y_{1} y_{2} = - 4 p^{2}$ ；

④过点 $P$ 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点 $A$ ，则直线 $A Q$ 平行于

抛物线的对称轴；

⑤绕点 $(- 2, 1)$ 旋转且与抛物线 $C$ 有且仅有一个公共点的直线至多有2条.

以上结论中正确的序号为.

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三、双空题

15. 圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 2 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y - 8 = 0$ 的公共弦所在的直线方程为，公共弦长=.

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四、解答题

16. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项的和记为 $S_{n}$ ， $a_{3} = - 4$ ， $a_{6} = 8$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最小值及其相应的n值.

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17. 已知圆 $C$ 的圆心在 $x + y = 0$ 上，点 $A (2, 0)$ 在圆 $C$ 上，且圆 $C$ 与直线 $x - y - 4 = 0$ 相切.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $A$ 和点 $(3, 2)$ 的直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A$ 、 $E$ 两点，求弦 $| A E |$ 的长.

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18. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{5} = 5 (a_{4} - a_{3})$ ， $b_{5} = 4 (b_{4} - b_{3})$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、 $c_{n} = a_{2 n} b_{2 n + 1}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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19. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $B C_{1}^{} / /$ 平面 $A D_{1} E$ ；

(2)、求直线 $B C_{1}$ 到平面 $A D_{1} E$ 的距离；

(3)、求平面 $A D_{1} E$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (2, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知定点 $E (1, 0)$ ，若直线 $y = k x - 2 (k \neq 0)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，试判断是否存在实数 $k$ ，使以 $M N$ 为直径的圆过定点 $E$ ？若存在求出这个 $k$ 值，若不存在说明理由.

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