天津市六校2020-2021学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点到准线的距离为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、4 C、 $\frac{1}{8}$ D、2

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2. 已知直线 $x + 2 y + 3 = 0$ 与直线 $2 x + m y + 1 = 0$ 平行，则它们之间的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$

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3. 下列说法正确的有几个（）
①直线 $y = a x - 3 a + 2 (a \in R)$ 必过定点 $(3, 2)$ ②直线 $y = 3 x - 2$ 在y轴上的截距为－2③直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为60°

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 设数列 ${a_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 3 a_{n} - n$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $\frac{9}{8}$ B、 $\frac{15}{8}$ C、 $\frac{19}{8}$ D、 $\frac{27}{8}$

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5. 在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布 $(100, σ^{2}) (σ > 0)$ ，若 $ξ$ 在 $(85, 115)$ 内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（）

A、0.25 B、0.1 C、0.125 D、0.5

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6. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $D D_{1}$ ， $A B$ ， $C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1} E$ 与 $G F$ 所成角是（）．

A、30° B、45° C、60° D、90°

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7. 已知随机变量 $X$ ， $Y$ 满足： $X \sim B (2, p)$ ， $Y = 2 X + 1$ ，且 $P (X \geq 1) = \frac{5}{9}$ ，则 $D (Y) =$ （）.

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{16}{9}$ D、 $\frac{17}{9}$

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8. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两条渐近线与圆 $x^{2} + y^{2} = 10$ 相交于A，B，C，D四点，若四边形ABCD的面积为12，则双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{10}$ 或 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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9. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ．短轴的一个端点为 $M$ ，直线 $l : 3 x - 4 y = 0$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点．若 $| A F | + | B F | = 4$ ，点 $M$ 到直线 $l$ 的距离不小于 $\frac{4}{5}$ ，则椭圆 $E$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ B、 $(0, \frac{3}{4}]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ D、 $[\frac{3}{4}, 1)$

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二、填空题

10. 二项式 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数是

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11. 已知圆C过点 $(0, 1)$ ， $(- 2, 3)$ 且圆心在x轴负半轴上，则圆C的标准方程为

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12. 某科技小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则 $P (X = 2) =$

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13. 一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是

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14. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F ， P (1, y_{0})$ 是抛物线上一点，过点 $P$ 向抛物线 $C$ 的准线引垂线，垂足为 $D$ ，若 $Δ P D F$ 为等边三角形，则 $p =$ ．

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15. 某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为

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三、解答题

16. 已知直线 $l : x - y + 3 = 0$ 被圆 $C : {(x - a)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4^{} (a > 0)$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求过点（3，5）与圆相切的直线的方程．

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17. 设 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{4} = 1$ ， $S_{15} = 75$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{5}$ ,现安排甲组研发新产品 $A$ ,乙组研发新产品 $B$ .设甲,乙两组的研发是相互独立的.

(1)、求至少有一种新产品研发成功的概率;

(2)、若新产品 $A$ 研发成功,预计企业可获得 $120$ 万元,若新产品 $B$ 研发成功,预计企业可获得利润 $100$ 万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D = 2 A D = 4$ ， $P D ⊥ D A$ ， $P D ⊥ D C$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，M，N分别为 $A D$ ， $P D$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $P A //$ 平面 $M N C$ ；

（Ⅱ）求直线 $P B$ 与平面 $M N C$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）求平面 $P A B$ 与平面 $M N C$ 所成角的余弦值．

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (0 ， - 3)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右焦点为F，其中O为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点C满足 $m \vec{O F} = \vec{O C}$ ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点）．

（ⅰ）直线 $A B$ 与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段 $A B$ 的中点，求实数m的取值范围；

（ⅱ）若 $m = \frac{1}{3}$ ，点B在第四象限，且 $\sin ∠ A F B = \sqrt{2} \sin ∠ B F C$ ，求直线 $A B$ 的斜率．

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