天津市河西区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 数列1， $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ ， $\frac{1}{4}$ ，…的一个通项公式为（）

A、 ${(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ B、 ${(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{n}$ C、 ${(- 1)}^{n} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{n - 1}$ D、 ${(- 1)}^{n + 1} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{n - 1}$

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2. 设函数 $f (x) = x^{2} - 1$ ，当自变量 $x$ 由1变到1.1时，函数的平均变化率是（）

A、2.1 B、0.21 C、1.21 D、0.121

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n} = 2 - \frac{1}{a_{n - 1}}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{7}{6}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{6}$

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4. 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和．若a₄+a₅=24，S₆=48，则{a_n}的公差为（　　）

A、1 B、2 C、4 D、8

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5. 已知函数 $y = f (x)$ ，其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图，则对于函数 $y = f (x)$ 的描述正确的是（）

A、在 $(- \infty ， 0)$ 上为减函数 B、在 $x = 0$ 处取得最大值 C、在 $(4 ， + \infty)$ 上为减函数 D、在 $x = 2$ 处取得最小值

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6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是（）

A、1 B、2 C、3 D、6

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7. 函数 $y = e^{- 2 x + 1} \cos (- x^{2} + x)$ 的导数为（）

A、 $y^{'} = e^{- 2 x + 1} [2 \sin (x^{2} - x) + (2 x - 1) \cos (x^{2} - x)$ B、 $y^{'} = - e^{- 2 x + 1} [2 \cos (x^{2} - x) + (2 x - 1) \sin (x^{2} - x)]$ C、 $y^{'} = - e^{- 2 x + 1} [2 \sin (x^{2} - x) + (2 x - 1) \cos (x^{2} - x)]$ D、 $y^{'} = e^{- 2 x + 1} [2 \cos (x^{2} - x) + (2 x - 1) \sin (x^{2} - x)]$

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8. 已知等比数列的首项为-1，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{10}}{S_{5}} = \frac{31}{32}$ ，则公比 $q =$ （）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， x > 1 \\ \frac{1}{4} x + 1 ， x \leq 1 \end{array}$ ， $g (x) = a x$ 则方程 $g (x) = f (x)$ 恰有两个不同的实根时，实数 $a$ 的取值范围是（）．

A、 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{e})$ C、 $(0 ， \frac{1}{4}]$ D、 $(\frac{1}{4} ， e)$

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二、填空题

10. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项的和，若 $S_{4} = 12$ ， $S_{8} = 40$ ，则 $S_{16} =$ .

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11. 函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，其导函数为函数 $f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (e) =$ .

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{1}{n^{2} + n}$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项的和，则 $S_{99} =$ .

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13. 函数 $f (x) = 3 x - x^{3}$ 的单调递增区间是.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{n - 3}{2 n - 17}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n}$ 取得最小值时 $n$ 的值为.

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15. 将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为 $x$ 的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积 $V$ 取得最大值时， $x$ 的值为.

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， 3]$ 上的最值.

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17. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \ln (x + 2)$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求证： $f (x) > 0$ .

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18. 对于数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 是前 $n$ 项和，且 $S_{n + 1} - (n + 1) = S_{n} + a_{n} + n$ ， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = 3 b_{n} + 2, n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = \frac{2 (a_{n} + n)}{n (b_{n} + 1)}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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