天津市河东区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n}$ ＝n²－n－50，则－8是该数列的（）

A、第5项 B、第6项 C、第7项 D、非任何一项

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2. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1}$ =1， $a_{n + 1} - a_{n} = 2$ ，则 $a_{100}$ 的值为（）

A、99 B、100 C、199 D、200

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 1$ ， $a_{5} = 2$ ，则首项 $a_{1} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、0

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4. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ B、 ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$ C、 ${(2^{x})}^{'} = 2^{x} \log_{2} e$ D、 ${(\frac{1}{1 - x})}^{'} = - \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

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5. 设函数 $f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) = f^{'} (\frac{π}{2}) \cdot \cos x - \sin x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ 成等差数列，则 $q^{2} - q =$ （）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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7. 若函数 $y = f^{'} (x)$ 图象如图所示，则 $y = f (x)$ 图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + x}{x}$ ， $a = f (\ln \frac{1}{e})$ ， $b = f (\frac{1}{2})$ ， $c = f (\frac{1}{e})$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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9. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（）

A、32 B、33 C、34 D、35

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二、填空题

10. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} + a_{10} + a_{15} = 30$ ，则 $a_{22} - 2 a_{16}$ 的值为．

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11. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{n} > 0$ ， $S_{3} = 5$ ， $a_{7} + a_{8} + a_{9} = 20$ ，则 $S_{15} =$ ．

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12. 已知函数 $f (x) = x^{2} \ln x + 1 - \frac{1}{2} x$ ，则函数 $f (x)$ 的图象在点 $(e ， f (e))$ 处的切线斜率为．

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13. 若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + x - 5$ 无极值点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前10项的和为．

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15. 设函数 $f (x)$ 在R上存在导函数 $f^{'} (x)$ ，对任意的实数x都有 $f (x) = f (- x) + 2 x$ ，当 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) > 2 x + 1$ ．若 $f (a + 1) \geq f (- a) + 2 a + 1$ ，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

16. 已知数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1, b_{n + 1} = \frac{1}{2} b_{n}$ ，

(1)、求 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $b_{2} + b_{4} + b_{6} + ... + b_{2 n}$ 的值.

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17. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} = - 10$ ，且 $a_{2} + 10, a_{3} + 8, a_{4} + 6$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 的最小值.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + \ln x (a \in R)$ ．
（Ⅰ）若 $a = 3$ ，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

（Ⅱ）令 $g (x) = f (x) - x^{2} + \frac{1}{2} a x$ ，若 $g (x)$ 的最大值为 $- 1$ ，求a的值．

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19. 数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} (n \in N^{*})$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n}$ ；

（Ⅱ）求数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交 $a$ 元（ $3 \leq a \leq 5$ ）的管理费，预计当每件产品的售价为 $x$ 元（ $9 \leq x \leq 11$ ）时，一年的销售量为 ${(12 - x)}^{2}$ 万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润 $L$ （万元）与每件产品的售价 $x$ 的函数关系式；

（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 $L$ 最大，并求出 $L$ 的最大值 $Q (a)$ ．

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