天津市部分区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在空间直角坐标系中，已知点 $A (2, - 1, 3)$ ， $B (- 4, 1, - 1)$ ，则线段 $A B$ 的中点坐标是（）

A、 $(- 1, 0, 2)$ B、 $(- 1, 0, 1)$ C、 $(3, 0, 1)$ D、 $(- 1, 1, 1)$

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2. 准线为 $x = 2$ 的抛物线的标准方程方程是（）

A、 $x^{2} = 8 y$ B、 $x^{2} = - 8 y$ C、 $y^{2} = 8 x$ D、 $y^{2} = - 8 x$

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3. 经过 $A (2, 1)$ ， $B (0, - 3)$ 两点的直线方程为（）

A、 $2 x - y - 3 = 0$ B、 $2 x + y - 3 = 0$ C、 $x - 2 y - 3 = 0$ D、 $x + 2 y - 3 = 0$

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4. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} = 24$ ， $a_{6} = 6$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、12 B、-12 C、±12 D、15

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5. 焦点在x轴上的椭圆的长轴长为4，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则该椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

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6. 已知圆的方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + m = 0$ ，则实数m的取值范围是（）

A、 $m > 2$ B、 $m \geq 2$ C、 $m < 2$ D、 $m \leq 2$

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7. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 $\frac{1}{7}$ 是较小的两份之和，则最小的一份为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{11}{6}$

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8. 已知F为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且 $B F$ 垂直于x轴.若直线 $A B$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、3 D、 $\sqrt{5}$

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9. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，则异面直线 $A C$ 与 $B C_{1}$ 之间的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{6}{7}$

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二、填空题

10. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y - 8 = 0$ ，圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 2 = 0$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系是.

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11. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $S_{n} = n^{2}$ （ $n \in N^{*}$ ），则 $a_{9} =$ .

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12. 经过点 $A (3, - 1)$ ，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为.

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13. 已知空间向量 $\vec{a}$ $= (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, 2)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，且满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ （ $n \in N^{*}$ ），则 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} =$ .

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15. 已知A，B两点的坐标分别是 $(- 2, 0)$ ， $(2, 0)$ ，直线 $A M$ ， $B M$ 相交于点M，且直线 $A M$ 的斜率与直线 $B M$ 的斜率的差是4，则点M的轨迹方程为.

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三、解答题

16. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 6$ ， $6 a_{1} + a_{3} = 30$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若 $a_{1} > 2$ ，设 $b_{n} = \frac{2}{3} n \cdot a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），记数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ .

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17. 已知圆C与直线 $2 x + y = 4$ 相切于点 $A (1, 2)$ ，并且圆心在直线 $y = - x$ 上，求圆C的方程.

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18. 如图，在四面体 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ，点M为棱 $A B$ 的中点， $A B = A C = 2$ ， $A D = \sqrt{3}$ .

（Ⅰ）求直线 $B C$ 与 $M D$ 所成角的余弦值；

（Ⅱ）求平面 $A B D$ 和平面 $B D C$ 的夹角的余弦值.

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19. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）若直线 $y = k x + 1$ （ $k > \frac{1}{2}$ ）与E相交于A，B两点，M为E的左顶点，且满足 $M A ⊥ M B$ ，求k.

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{4} = 4 S_{2}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ （ $n \in N^{*}$ ）.
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} + 3 b_{2} + \dots + (2 n - 1) b_{n} = n$ （ $n \in N^{*}$ ），记数列 ${{(- 1)}^{n} \frac{4 n \cdot b_{n}}{a_{n + 1}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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